¿Qué tipo de finalización es ésta?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio compacto de Hausdorff, y $C(X)$ la C*-álgebra unital conmutativa de funciones continuas sobre ella. El dual de Banach doble $C(X)^{**}$ es un álgebra conmutativa de von Neumann y por tanto tiene un espacio compacto de Hausdorff $X^{**}$ como el espectro Gelfand de nuevo. ¿Qué es $X^{**}$ en términos de $X$ ?

Esto da un endofunctor (¿idempotente?) (mónada?) en la categoría de espacios compactos de Hausdorff, que no reconozco como ninguno de los habituales como Stone-Cech. ¿Qué terminación es? ¿Está relacionado con el functor que lleva un espacio compacto de Hausdorff al $\sigma$ -generada por sus aperturas?

Parece difícil encontrar en la bibliografía descripciones de álgebras de von Neumann envolventes de álgebras C* (conmutativas) en términos de duales de Banach dobles, y cualquier referencia es bienvenida. Qué es el álgebra de von Neumann $C(X)^{**}$ ¿en primer lugar?

Answer 1

Por si sirve de algo, he encontrado mucha información en [Dales, Lau & Strauss, "Second duals of measure algebras", Dissertationes Mathematicae 481:1-121, 2012]. La asignación $X \mapsto X^{\ast\ast}$ es functorial, y se denomina cubierta hipersónica . Pierde información: si $X$ es contable, entonces $X^{\ast\ast} \cong \beta\mathbb{N}$ .

Si $X$ es metrizable e incontable, gran parte de la estructura de $X^{\ast\ast}$ se conoce, se caracteriza por lo siguiente:

• $X^{\ast\ast}$ es híper-Stoneano;
• el conjunto $D$ de puntos aislados de $X^{\ast\ast}$ tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$ su cierre $Y$ es un subespacio cerrado homeomorfo a $D_d$ ;
• $X\setminus Y$ contiene una familia de $2^{\alpha_0}$ subespacios abiertos, disjuntos entre sí, cada uno de los cuales es homeomorfo a $\mathbb{H}$ ;
• la unión $U$ de los conjuntos anteriores es denso en $X \setminus Y$ y $\beta U = X \setminus Y$ .

En general, existe una proyección continua $p \colon X^{\ast\ast} \to X$ y una inyección (no necesariamente inyectiva) $i \colon X \to X^{\ast\ast}$ con $i \circ p = 1_{X^{\ast\ast}}$ . Además, $X$ consiste en los puntos aislados de $X^{\ast\ast}$ y, por lo tanto, está abierto.

Answer 2

Esto se hace en el libro de Conway sobre Análisis Funcional, (al menos como espacio de Banach pero la prueba debería funcionar también como álgebra de Von Neumann), aunque no tengo el libro encima y no sé la referencia exacta del capítulo/sección. Ten en cuenta que si $\mu$ y $\nu$ son medidas sobre $X$ con $\mu <<\nu$ y $f=0$ $\nu$ casi en todas partes entonces $f=0$ $\nu$ casi en todas partes, por lo que tenemos un mapa bien definido $L^{\infty}(X,\nu)\to L^{\infty}(X,\mu).$ Se puede dotar al límite inverso, llámese Y, de $L^{\infty}(X,\mu)$ bajo estos mapas como un espacio de Banach y mostrar que es isomorfo a $C(X)^{**}.$ La dualidad entre $Y$ y $M(X)$ está algo claro, si $f=[f_{\mu}]$ es una colección compatible de funciones (así que $f_{\mu}=f_{\nu}$ $\mu$ casi en todas partes si $\mu<<\nu$ ) entonces la integral de $f_{\mu}$ contra $\mu$ está bien definida para cada $\mu\in M(X)$ y da la dualidad entre $Y$ y $M(X).$

Answer 3

Esto quizás debería ser sólo un comentario, pero me pareció que se alargó demasiado. También es un poco inconexo, ya que tengo prisa en este momento; lo siento.

No creo que uno tenga una descripción particularmente buena de $C(X)^{**}$ como un álgebra de von Neumann, aparte de "es lo que es". Es decir, se llama álgebra de von Neumann envolvente, y tiene una propiedad universal apropiada, pero eso realmente no "dice lo que es" en el sentido que parece pedir tu pregunta final.

La adición que describes creo que ha sido bien estudiada, pero no estoy seguro de que haya buenas referencias.

Espacios $X^{**}$ (en su notación) son necesariamente hipertonos, y supongo que lo que se obtiene es una especie de cobertura hipertono (dual a la idea de $C(X)^{**}$ como una envoltura vN). En Google aparece el siguiente documento de 1988

Cubierta de hiperstona y segunda extensión dual

que podrían, si no son directamente relevantes, al menos tener referencias a la literatura.

Answer 4

¿Qué te parece esto? Toma una familia máxima $(\mu_i \colon i \in I)$ de medidas de probabilidad mutuamente singulares en $X$ . Entonces $C(X)^* = M(X)$ es isométrica con respecto a la $l^1$ -suma de los espacios $L^1(\mu_i)$ . Incluso cuando $X = [0,1]$ se trata de una suma directa incontable. Así que $C(X)^{**}$ es el $l^\infty$ suma (o tal vez llamarlo el producto) de los espacios $L^\infty(\mu_i)$ .