Orden del grupo y LCM de los elementos del grupo.

Question

¿Es el orden del grupo igual al mínimo común múltiplo del orden de los elementos del grupo? En caso afirmativo, ¿cuáles son las condiciones?

Answer 1

No. Por ejemplo, si $G=\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2$ entonces $|G|=4$ pero el mínimo común múltiplo del orden de sus elementos de grupo es $2$ .

Answer 2

No, para un grupo abeliano finito el $\rm lcm$ de las órdenes es el expt (no el orden) del grupo, a saber

$\begin{eqnarray}\rm{\bf Proposition}\quad maxord(G) \!&\,=\,&\rm expt(G)\ \text{ for a finite abelian group}\ G,\ i.e.\\ \\ \rm max\ \{ ord(g) : \: g \in G\} \!&=&\rm min\ \{ n>0 : \: g^n = 1\ \ \forall\ g \in G\}\end{eqnarray}$

Prueba $\ $ Por el lema siguiente, $\rm\: S\, =\, \{ ord(g) : \:g \in G \}$ es un finito conjunto de naturales cerrados bajo $\rm\ lcm$ .

Por lo tanto, cada $\rm\ s \in S\:$ es un divisor del máximo elt $\rm\: m\ $ [si no $\rm\: lcm(s,m) > m\,$ ], $\ $ así que $\rm\ m = expt(G)$ .

Lema $\ $ Un grupo abeliano finito $\rm\:G\:$ tiene un conjunto de orden lcm-cerrado, es decir, con $\rm\: o(X) = $ orden de $\rm\: X$

$$\rm X,Y \in G\ \Rightarrow\ \exists\ Z \in G:\ o(Z) = lcm(o(X),o(Y))$$

Prueba $\ \ $ Por inducción en $\rm\: o(X)\, o(Y).\ $ Si es $\:1\:$ entonces trivialmente $\rm\:Z = 1$ . $\ $ De lo contrario,

escribir $\rm\ o(X) =\: AP,\: \ o(Y) = BP',\ \ P'|\,P = p^m > 1,\ $ prime $\rm\: p\:$ coprima a $\rm\: A,B.$

Entonces $\rm\: o(X^P) = A,\ o(Y^{P'}) = B.\ $ Por inducción hay un $\rm\: Z\:$ con $\rm \: o(Z) = lcm(A,B)$

así que $\rm\ o(X^A\: Z)\: =\: P\ lcm(A,B)\: =\: lcm(AP,BP')\: =\: lcm(o(X),o(Y)).$