Desigualdad del espacio normado simple

Question

Dejemos que $(V,\|\cdot\|)$ sea un espacio vectorial normado. Sea $x,y,x',y' \in V$ . Digamos que quiero estimar $$\left| \|x\|-\|x'\|-(\|y\| - \|y'\|) \right|.$$

¿Se cumple la siguiente cadena de desigualdades?:

\begin{eqnarray*} \left| \|x\|-\|x'\|-(\|y\| - \|y'\|) \right| &\leq& \left| \|x-x'\|-(\|y\| - \|y'\|) \right|\\ &\leq& \left| \|x-x'\|-(\|y-y'\|) \right| \\ &\leq& \|(x-x')-(y-y')\|) \end{eqnarray*}

Por alguna razón estoy teniendo un poco de pedo cerebral y parece que no puedo justificar o refutar la 1ª a 2ª desigualdad.

Answer 1

La desigualdad general tampoco funciona. De nuevo en $\mathbb{R}^2$ , toma $$ x = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(-1, 1), \qquad x' = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1, 1), \qquad y = (-\sqrt{2}, 0), \qquad y' = (0, 0). $$ Entonces $$ \left| \|x\| - \|x'\| - (\|y\| - \|y'\|) \right| = \left| 0 - \sqrt{2} \right| = \sqrt{2} $$ pero $$ \left\|(x-x') - (y-y') \right\| = \| (-\sqrt{2}, 0) - (-\sqrt{2}, 0) \| = 0, $$ por lo que su estimación deseada no es válida.

Answer 2

Considere $\mathbb{R}^2$ con la base ortonormal habitual $e_1, e_2$ .

Tome \begin{align*} x &= e_1 \\ x' &= e_2 \\ y &= 100e_2 \\ y' &= - e_2. \end{align*}