Suma parcial de series armónicas, cada n es coprima de algún k

Question

Estoy haciendo algo de teoría analítica de números y me cuesta mostrar este resultado en particular:

$\sum_{n\leq x,(n,k)=1}\frac{1}{n} = \frac{\phi(x)\log(x)}{k} + O(1)$

Donde $k$ es alguna constante. En general, no estoy seguro de cómo abordar las series con el requisito de coprima en el índice de suma. He probado con la suma de Abel, con la reelaboración de los índices y con los trucos habituales de la teoría de los números. Se agradece cualquier consejo.

Answer 1

Utilizando $\sum_{d | n} \mu(d) = 1_{n=1}$ , $\sum_{d | k}\phi(d)= k \implies \phi(k) = \sum_{d | k}\mu(d) \frac{k}{d}$ et $\sum_{n \le x} \frac{1}{n}=\log(x)+\gamma+\mathcal{O}(1/x)$ obtenemos $$\sum_{n \le x, (n,k)=1} \frac{1}{n} = \sum_{d | k} \mu(d) \sum_{n \le x, d | (n,k)} \frac{1}{n} = \sum_{d | k} \mu(d) \sum_{n \le x/d} \frac{1}{nd}$$ $$=\sum_{d | k} \frac{\mu(d)}{d} (\log x-\log d+\gamma+\mathcal{O}(d/x))= \frac{\phi(k)}{k}(\log x+\gamma)-\sum_{d | k} \frac{\mu(d)}{d} \log d+\mathcal{O}(\frac{\sigma_0(k)}{x})$$