simplificar la serie mediante factoriales para ver si es convergente condicional o absolutamente o divergente?

Question

$$\sum_{n=0}^\infty {4^n(n!)^2\over (2n)!}$$

¿Podría tachar uno de los n factoriales para que el numerador tenga ${n!}$ en lugar de ${(n!)^2}$ . No he aprendido mucho sobre factoriales así que esto es bastante nuevo para mí.

Answer 1

Un pequeño truco que es (al menos para mí) muy útil cuando se manejan expresiones que involucran factoriales es la aproximación más simple de Stirling que escribe $$m!=\sqrt{2 \pi } e^{-m} m^{m+\frac{1}{2}}$$ Aplicado a la expresión $$a_n={4^n(n!)^2\over (2n)!}\approx \sqrt{\pi } \sqrt{n}$$ y así $$\sum_{n=0}^p a_n\approx \sqrt{\pi } H_p^{\left(-\frac{1}{2}\right)}$$ donde aparece el número armónico.

Para $p=1000$ la suma parcial exacta da $37408.0$ mientras que la aproximación conduce a $37394.3$ .