$$\sum_{n=0}^\infty {4^n(n!)^2\over (2n)!}$$
¿Podría tachar uno de los n factoriales para que el numerador tenga ${n!}$ en lugar de ${(n!)^2}$ . No he aprendido mucho sobre factoriales así que esto es bastante nuevo para mí.
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Oli
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Que el $n$ -el término sea $a_n$ . Tenga en cuenta que $$\frac{1}{a_n}=\frac{(2n)!}{4^n n!n!}=\binom{2n}{n}\frac{1}{2^{2n}}.$$ Reconocemos la última expresión como la probabilidad de obtener $n$ cabezas y $n$ cruz cuando lanzamos una moneda justa $2n$ tiempos.
En particular, $\frac{1}{a_n}\lt 1$ si $n\gt 0$ y por lo tanto $a_n\gt 1$ .
Los términos $a_n$ no tienen límite $0$ por lo que nuestra serie es divergente.
Shabaz
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ItisNot Xiaoxiao Joy
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El camino a seguir aquí es el prueba de relación intentar "adivinar" la convergencia basándose en el aspecto del sumando no es una buena idea. La prueba de la relación le dirá si una serie converge (absolutamente) o no. Lo que dice la prueba de razón es que si $\lim_n \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ la serie converge absolutamente (donde el $a_n$ son los términos de la serie).
En su caso, quiere inspeccionar la naturaleza de
$$\lim_{n\to\infty}\frac{4^{n+1}((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}.$$
Si haces uso de las propiedades del factorial, obtendrás la respuesta.
Ted
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DiGi
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Se puede, pero no sirve de mucho: el denominador es entonces el bastante feo
$$(2n)(2n-1)\ldots(n+2)(n+1\;.$$
Observe que $4^n=2^n\cdot2^n$ y
$$2^nn!=(2n)(2n-2)(2n-4)\ldots(4)(2)\;,$$
por lo que el $n$ -el término puede escribirse
$$\frac{(2n)(2n-2)\ldots(4)(2)}{(2n-1)(2n-3)\ldots(3)(1)}=\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n-2}{2n-3}\cdot\ldots\cdot\frac12\;.$$
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