Convergencia de una integral impropia

Question

Pruebe la convergencia de la integral impropia $\int_1^\infty \frac{1}{x^2(1+ e^{-x})} dx$ .

He intentado cambiar la fracción como $\frac{e^x}{x^2 (1+ e^x)}$ entonces se puede simplificar como $\frac1{x^2} - \frac1{x^2 (1+ e^x)}$ . Ahora no pude resolver la integración del segundo término. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Aquí no podemos resolver la integral ( Wolfram no recibe respuesta).

Como estamos probando la convergencia, en lugar de resolver la integral, podemos utilizar la prueba de comparación.

Para comprobar la convergencia, necesitamos encontrar otra integral impropia que sea mayor que la función descrita y que también converja.

Un ejemplo es:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}$$

Porque

$$\frac{1}{x^2(1+e^{-x})} < \frac{1}{x^2}$$

Si calculamos la integral impropia, obtenemos:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2} = \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^2} = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty} \left(1 -\frac{1}{b}\right) = 1$$

Como esta integral converge, por la prueba de comparación, nuestra integral converge.

Answer 2

Como es una integral de una función positiva, se puede utilizar la equivalencia: $$1+\mathrm e^{-x}\sim_\infty 1,\quad\text{hence}\quad \frac{1}{x^2(1+\mathrm e^{-x})}\sim_\infty \frac 1{x^2}$$ Esta última integral converge, de ahí que la primera lo haga.

Answer 3

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2(1+ e^{-x})} dx < \int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$$