¿Qué necesidad hay de definir el cierre definible en la Teoría de Modelos?

Question

Para un $\mathcal{L}$ -estructura $\mathcal{M}$ se pueden decir dos importantes operadores de cierre finitario sobre $M$ son el cierre definible y el cierre algebraico.

El cierre definible de una tupla $a$ , $\operatorname{dcl}(a)$ es el conjunto de elementos $c\in M$ tal que existe una fórmula $\phi(x,a)$ que $c$ es la única solución en $M$ , a saber $c$ es la "solución única" para $\phi$ . Ahora en lugar de la única solución, si $\phi$ tiene "sólo un número finito de soluciones" en $M$ entonces tendremos un cierre algebraico, $\operatorname{acl}(a)$ .

Sobre uno de los papeles importantes del cierre algebraico en la Teoría de Modelos, como ejemplo, se puede decir que este concepto aparece en las teorías fuertemente mínimas de forma efectiva. Teniendo el concepto de cierre algebraico, en una teoría fuertemente mínima bajo algunas condiciones, se nos permite definir las nociones de independencia, base y dimensión.

De la definición se desprende que el cierre algebraico siempre contiene el cierre definible. Aunque se puede adivinar que el cierre algebraico generaliza el cierre algebraico habitual de los campos en la Teoría de Campos no tengo ni idea del concepto de cierre definible. Me gustaría saber

1. ¿Qué idea hay detrás de la definición de cierre definible y cuál es la necesidad de definir el cierre definible en la Teoría de Modelos?

2. En aquellas teorías en las que estos cierres no coinciden, utilizando el cierre definible ¿tenemos algunas nociones como independencia, base y dimensión, similares al álgebra lineal?

Answer 1

1. Un elemento está en el cierre definible de un conjunto $A$ si es la imagen bajo una función definible de una tupla de elementos de $A$ . Así que, en cierto sentido, tomando el cierre definible de un conjunto $A$ es tomar la subestructura generada por $A$ si permitiéramos que todas las funciones definibles tuvieran símbolos de función dedicados.

Otro dato interesante es que $dcl(A)$ es exactamente el conjunto de puntos que son fijados por todos los automorfismos que fijan $A$ punto, cuando la estructura en la que se trabaja está suficientemente saturada. Así, si se conoce la teoría de Galois, se puede decir que el cierre definible aparece "naturalmente" cuando se estudian los puntos fijos de los grupos de automorfismo.

2. No, en general no se tiene la propiedad de intercambio, que es la generalización de "dividir por un coeficiente" en los espacios vectoriales. La propiedad de intercambio dice "si $b \in cl(aA)\setminus cl(A)$ entonces $a \in cl(bA)\setminus cl(A)$ ", donde $cl$ es el operador de cierre que estás estudiando. Esta propiedad es crucial para demostrar que todas las bases de un conjunto tienen el mismo cardinal.