Qué marco de referencia utilizar para $d \theta$ cerca de un agujero negro?

Question

Utilizando la métrica de Schwarzchild para un cuerpo que orbita circularmente un agujero negro no giratorio (es decir $dr=0$ ), la relación entre $d\tau$ el tiempo entre dos impulsos luminosos enviados infinitesimalmente juntos, medido por el objeto, y $dt$ el tiempo entre los pulsos, medido por el observador alejado del agujero negro que recibe estos pulsos, es $$c^2 d\tau^2=\frac{c^2dt^2 }{1+\frac{r_s}{r}}-r^2d\theta^2$$

$$\left(\frac{d\tau}{dt}\right)^2=\frac{1 }{1+\frac{r_s}{r}}-\left(\frac{r \dot{\theta}}{c}\right)^2=\frac{1 }{1+\frac{r_s}{r}}-\left(\frac{v}{c}\right)^2$$ donde $r$ es el radio reducido.

Sin embargo, ¿qué observador mide $d\theta$ ¿Y por qué? Esto tendrá consecuencias cuantificables en el valor de $v$ .

Answer 1

La RG no tiene marcos de referencia globales. No se necesita ningún marco de referencia global o local para definir las coordenadas en la RG. Elegir un marco de referencia inercial local es una forma posible de definir las coordenadas localmente, pero no es la única forma, y no suele ser suficiente para definir las coordenadas globalmente. En RG, las coordenadas son sólo etiquetas para los eventos, nada más y nada menos.

El hecho de que la métrica de Schwarzschild, expresada en coordenadas de Schwarzschild, tenga una $r^2d\theta^2$ en ella se suele tomar como la definición de la Schwarzschild $r$ coordenadas. Esto se debe a que el $\theta$ es fácil de definir: en una cáscara esférica, simplemente definimos un gran círculo como $2\pi$ del ángulo. Alternativamente, $r$ puede definirse como el radio de curvatura de la cáscara. La razón por la que es pas tan trivial para definir $r$ es que no podemos medir necesariamente una distancia desde el centro -- para un agujero negro, el centro es un punto que falta en el espacio-tiempo, y dentro del horizonte de sucesos el $r$ La coordenada es temporal y no espacial.

Esto puede ser útil: http://www.lightandmatter.com/html_books/genrel/ch07/ch07.html#Section7.2

Answer 2

Estás expresando la métrica en las coordenadas del observador de Schwarzschild, es decir, el científico que observa desde una distancia (efectivamente) infinita. Por tanto, la $\theta$ es la que utiliza el observador en el infinito, al igual que $t$ , $r$ et $\phi$ .

Dicho esto, creo (no tengo mis libros a mano, así que podría estar recordando esto mal) que si te transformas en un marco de concha el $\theta$ coordenadas sigue siendo la misma. No estoy seguro de un marco orbital.