¿Qué son matemáticamente los campos cuánticos?

Question

Estoy confundido en cuanto a cómo se definen matemáticamente los campos cuánticos, y he visto en las preguntas de este sitio y en los artículos de la Wikipedia que los campos clásicos son sólo funciones que producen un valor de campo para un punto dado en el espacio de entrada.

¿Es lo mismo para los campos cuánticos? ¿Los campos cuánticos también son sólo funciones? Si es así, ¿cómo explican las leyes de la mecánica cuántica?

También he visto respuestas aquí diciendo cosas sobre distribuciones valoradas por operadores, etc... ¿Son estos operadores los operadores de creación y aniquilación de la segunda cuantización? Además, si el campo es un campo de operadores, ¿cómo podemos determinar el valor del campo en un punto?

Tengo todos estos retazos de conocimiento, y no estoy seguro de cómo encajan para describir matemáticamente los campos cuánticos.

Por último, estoy confundido en cuanto a cómo funciona con el resto de QFT Y supongo que ésta es mi pregunta principal: si un campo cuántico es sólo un campo de operadores de creación y aniquilación, o incluso algunos otros operadores, ¿cómo definimos las partículas y sus interacciones? Siempre se oye decir que "Las partículas son sólo excitaciones en sus campos cuánticos". Pero, matemáticamente, ¿cómo funciona esto? ¿Y encaja con las otras partes que he mencionado?

Answer 1

La definición de un campo cuántico depende ligeramente del formalismo que se adopte, pero globalmente, los campos cuánticos se definen como distribuciones valoradas por operadores. Es decir, si se tiene un campo cuántico $\Phi$ se define como

$$\Phi : \mathscr D(\mathcal M) \to\mathcal B(\mathscr H)$$

Mapea funciones suaves con soporte compacto en el colector del espaciotiempo a operadores lineales en el espacio de Hilbert donde se define su teoría cuántica. Por cierto abuso de la notación, a veces lo escribimos como $\Phi(x)$ aunque esto sólo está bien definido si la distribución es también una función suave.

Esto tiene algunas dificultades asociadas (ya que las distribuciones no se pueden multiplicar juntas fácilmente, y la QFT implica muchos productos de campos), lo que significa que uno tiene que utilizar métodos como los conjuntos de frente de onda y las renormalizaciones para dar sentido a todo.

Answer 2

Las respuestas que sugieren que la respuesta a "¿Qué es un campo cuántico?" es poco clara o incluso abierta son erróneas.

La impresión de que esto podría ser poco claro se debe a que los libros de texto estándar se aferran a la heurística que ayudó a Tomonaga-Schwinger-Feynman-Dyson a adivinar la teoría hace muchas décadas, pero la naturaleza matemática de la teoría cuántica de campos realista se comprendió completamente a mediados de los años 70 y se siguió desarrollando desde entonces. Un resumen del estado de la cuestión se encuentra en

• PhysicsFormums-Insights -- Introducción a la teoría cuántica de campos perturbativa

En primer lugar, conviene darse cuenta de que hay una diferencia entre una configuración de campo y un observable en el espacio de todas las configuraciones de campo.

Un campo en sí mismo, ya sea en la física clásica o en su cuantización, es simplemente una función sobre el espaciotiempo, que asigna a cada punto del espaciotiempo el "valor" de ese campo en ese punto. O, más generalmente, es una sección de un haz sobre el espaciotiempo, llamado haz de campos. Por ejemplo, si el haz de campos es un haz de espines, entonces el campo es un espinor, si es el haz de formas diferenciales, entonces el campo es un potencial gauge como el del electromagnetismo, etc.

Ahora bien, a partir de la densidad lagrangiana se obtienen dos cosas: las ecuaciones de movimiento, así como una forma presimpléctica en el espacio de todas aquellas historias de campo que resuelven las ecuaciones de movimiento. Esto se llama espacio de fase covariante de la teoría.

Un observable es una función en este espacio de fase covariante. Envía cualquier historia de campo a un número, el "valor de ese observable en esa historia de campo". Pero como el espacio de fase covariante es en sí mismo un espacio de funciones (o más bien de secciones), una función en es un funcional .

Entre ellos se encuentran los "funcionales de evaluación puntual", es decir, los observables cuyo valor en una historia de campo es el valor de ese campo en un punto determinado. El asunto de las distribuciones es simplemente que en estos funcionales de evaluación puntual no está definido el corchete de Peierls-Poisson (sólo está definido su núcleo integral, que es lo que se ve en los libros de texto). Así que uno se restringe a aquellos observables que son funcionales en el espacio de las historias de campo en las que el corchete de Poisson realmente se cierra. Se trata de uniones de los funcionales de evaluación de puntos por funciones espaciotemporales compactamente soportadas. Así pues, una función de evaluación puntual se convierte en un mapa que, una vez especificada la función de desprestigio, da lugar a un observable. De este modo, los observables de campo de evaluación puntual ya clásicos son distribuciones "distribuciones observables-valoradas clásicas".

Ahora todo lo que sucede en la cuantización, es que el álgebra del producto puntual de los funcionales en el espacio de fase covariante se deforma a un álgebra no conmutativa. Es tradicional exigir que se represente esta álgebra dentro de un álgebra de operadores sobre un espacio de Hilbert, pero en su mayor parte esto es una pista falsa. Lo que cuenta es el álgebra no conmutativa de los observables cuánticos. Para calcular las predicciones de la teoría, sus amplitudes de dispersión, en realidad no es necesario representar esto mediante un álgebra de operadores.

De todos modos, tanto si te gusta representar el álgebra no conmutativa de los observables cuánticos mediante operadores como si no, en cualquier caso el resultado ahora es que un funcional de evaluación puntual es algo que lee en una función de barrido y luego produce el observable correspondiente, expuesto ahora como un elemento de un álgebra no conmutativa. De este modo, los observables cuánticos en los campos son distribuciones valoradas por elementos del álgebra (por ejemplo, valoradas por elementos del operador-álgebra).

Y, sí, para los campos libres esto da lugar a los conocidos operadores de creación y aniquilación, para más detalles sobre cómo funciona ver

• en el nLab en Álgebra de mechas .

Hay una exposición detallada de estas cuestiones en

• geometría de la física -- Una primera idea del campo cuántico de campo cuántico

En la actualidad, esto está escrito hasta la historia clásica. Para la teoría cuántica, vuelva a visitar el sitio dentro de dos meses.

Answer 3

Todavía no existe una formulación matemáticamente sólida de la QFT realista, por lo que en este momento no tenemos una respuesta real a su pregunta. La QFT que los físicos utilizan para hacer predicciones está en la llamada formulación lagrangiana, que es un marco heurístico para obtener expansiones perturbativas utilizando diagramas de Feynman. También existe QFT algebraica o axiomática , matemáticamente bien definida pero hasta ahora confinada a las teorías libres y a los modelos de juguete. La idea es que la QFT debe satisfacer una lista de axiomas, la Axiomas de Wightman que son las más utilizadas, y el reto es construir teorías realistas que las satisfagan. Construir matemáticamente una Teoría de Yang-Mills con una brecha de masa es uno de los problemas del Milenio.

En la QFT algebraica los campos se identifican con distribuciones valoradas por operadores, y la imagen del espacio de Fock es una representación dual de ellos. Esta dualidad es similar a las imágenes de Schrödinger y Heisenberg en la mecánica cuántica. La idea es que el espacio de Hilbert de los campos cuánticos, como distribuciones asociadas a regiones localizadas del espaciotiempo, es unitariamente equivalente al espacio de Fock, donde se definen los operadores de creación y aniquilación, y que es mucho más utilizado en la práctica. Ese es el espacio de Fock de la segunda cuantificación, por lo que esos operadores no son los mismos que los operadores de campo, que son versiones cuantificadas de los campos clásicos (intuitivamente, los operadores del espacio de Fock son "globales", mientras que los operadores de campo son "localizados"):

" Afortunadamente, los operadores de un espacio de Hilbert de QFT incluyen un conjunto de operadores de campo. Si una ecuación de onda particular es satisfecha por un campo clásico $\phi(x)$ también se satisfará en forma de ecuación de operador por un conjunto de operadores $\widehat{\phi}(x)$ en el espacio de estados de la versión cuantificada de la teoría de campo. Hablando con cierta imprecisión, $\widehat{\phi}(x)$ actúa como un campo de operadores, asignando a cada punto x un operador con valor de expectativa $(\psi,\widehat{\phi}(x)\psi)$ . A medida que el estado evoluciona dinámicamente, estos valores de expectativa evolucionarán como los valores de un campo clásico. El conjunto de operadores de campo se denomina a veces campo cuántico con valor de operador . Una advertencia que será importante más adelante: Estrictamente hablando, no podemos construir un campo no trivial de operadores $\widehat{\phi}(x)$ definidos en puntos. Pero es posible definir un campo cuántico "difuso" mediante la convolución con funciones de prueba.

[...] Necesitamos una interpretación de los estados teóricos de campo para determinar qué hechos físicamente contingentes que representan. En la QM de una sola partícula, un estado es una superposición de estados con valores determinados para los observables de la teoría (por ejemplo, posición y momento)... en las teorías de campo nos interesan los sistemas que toman valores para algún campo $\phi(x)$ y su momento conjugado $\pi(x)$ . Por lo tanto, al cuantizar una teoría de campo, sólo debemos hacer con el campo lo que hicimos con el sistema mecánico para generar la QM. Imponer relaciones de conmutación en $\phi(x)$ et $\pi(x)$ y trasladar nuestros estados al espacio de Hilbert de funciones de onda ( $\Psi(\phi)$ ) que describen superposiciones de diferentes configuraciones de campo clásicas.

La equivalencia con la imagen del espacio de Fock puede demostrarse para la QFT libre, pero la QFT axiomática tiene dificultades para incorporar interacciones o definir operadores de posición. Debido a esto, algunos argumentan que ni el campo cuántico ni las interpretaciones del espacio de Fock/partículas pueden sobrevivir en una QFT matemáticamente madura, véase, por ejemplo Baker contra las interpretaciones de la teoría cuántica de campos del que se ha extraído la cita anterior.

Wallace tiene una buena reseña En defensa de la ingenuidad: El estado conceptual de la QFT lagrangiana que analiza la estructura matemática de la QFT tal y como se practica, y argumenta por el contrario que puede verse como una aproximación válida de lo que la QFT algebraica puede producir algún día. Si ese es el caso, entonces las distribuciones valoradas por operadores y los estados del espacio de Fock, interpretados como estados de partículas, serán realizaciones efectivas de lo que los campos cuánticos "son" en niveles de baja energía:

" Hemos argumentado que tales QFTs pueden convertirse en teorías cuánticas perfectamente bien definidas siempre que nos tomemos absolutamente en serio el corte de alta energía; que las múltiples formas de hacerlo no están en conflicto siempre que las entendamos como aproximaciones a la estructura de alguna teoría más profunda, aún desconocida; que la existencia de representaciones no equivalentes no es un problema; que se puede definir un concepto de localización para tales teorías que es adecuado para analizar al menos algunos de los problemas prácticos a los que nos enfrentamos; y que la inexactitud inherente a ese concepto no es exclusiva de la mecánica cuántica relativista, ni es en absoluto problemática.