Demostrar que $n!>n^{n/2}$ .

Question

Demostrar que $n!>n^{n/2} \space \forall$ números naturales $n>2$ . He intentado este problema varias veces pero no he podido conseguirlo. Tal vez, es bastante trivial pero me falta algo en mis ideas. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Utilice una variante multiplicativa de El truco de Gauss : $$(n!)^2 = (1 \cdot n) (2 \cdot (n-1)) (3 \cdot (n-2)) \cdots ((n-2) \cdot 3) ((n-1) \cdot 2) (n \cdot 1) \ge n^n$$

Answer 2

SUGERENCIA:

Usando AM, la desigualdad GM,

$$\dfrac{r+n-r}2\ge\sqrt{r(n-r)}$$

Set $r=1,\cdots,n-1$ y multiplicar

Answer 3

Tomando $\log$ en ambos lados de la desigualdad se obtiene la desigualdad equivalente $\displaystyle \sum_{k=1}^n\ln(k)>\frac{n}{2}\ln(2)$ .

Esto último puede abordarse mediante algunas integrales. Dado que $\ln$ es creciente en cada intervalo $[k,k+1]$ , se cumple lo siguiente : $\ln(k)\geq \int_k^{k+1}\ln(t)$ dt.

Suma para $k=0,\ldots,n$ rinde $\displaystyle \sum_{k=1}^n\ln(k) \geq \int_0^{n}\ln(t)dt = n\ln(n) -n$ .

Entonces es trivial comprobar que para $n\geq 8$ , $n\ln(n) -n>\frac{n}{2}\ln(2)$ .

Queda por comprobar la desigualdad para $2\leq n \leq 7$ .