Desigualdad de trazos relacionada con el producto de tres matrices

Question

Dada la matriz rectangular $A \in \mathbb{R}^{n\times m}$ y la matriz definida positiva $B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , demuestre que $$-\mbox{tr}(A^TBA) \leq -\sigma\|A\|^2_F$$ donde la constante $\sigma > 0$ puede depender de $A$ y $B$ .

He desarrollado una prueba rudimentaria para la misma, sin embargo quiero saber si mi razonamiento es correcto o si alguien puede mejorar mi prueba o proporcionar una prueba mejor. Mi prueba es la siguiente: Dado que $A^TBA$ es una matriz definida positiva, $tr(A^TBA) \geq ||A^TBA||_2$ Por lo tanto: \begin{equation} \begin{split} tr(A^TBA) &\geq ||A^T||_2||B||_2||A||_2 \\ -tr(A^TBA) &\leq -\rho(B)||A||^2_F/r \end{split} \end{equation} En mi razonamiento anterior, he utilizado el hecho de que $||A||_2 \leq ||A||_F \leq \sqrt{r}||A||_2$ donde $r$ es el rango de $A$ matriz. Mi principal argumento es que si $tr(A^TBA) \geq ||A^T||_2||B||_2||A||_2$ ¿tiene? También $tr$ representa el rastro y $\rho(.)$ representa el radio espectral y, por tanto, según mi "no tan rigurosa" prueba $\sigma=\rho(B)/r$ . ¿Puede algún experto proporcionar una prueba mejor/concreta para $-tr(A^TBA) \leq -\sigma||A||^2$ . Por último, ¡gracias por su tiempo y esfuerzo!

Answer 1

Dejemos que $B=Q\Lambda Q^T$ sea una diagonalización ortogonal. Por la propiedad tracial $\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)$ obtenemos \begin{aligned} \operatorname{tr}(A^TBA) &=\operatorname{tr}(A^TQ\Lambda Q^TA)\\ &=\operatorname{tr}(\Lambda Q^TAA^TQ)\\ &\ge\lambda_\min(B)\operatorname{tr}(Q^TAA^TQ)\\ &=\lambda_\min(B)\operatorname{tr}(AA^T)\\ &=\lambda_\min(B)\|A\|_F^2. \end{aligned} Por lo tanto, puede elegir $\sigma$ como el mínimo valor propio de $B$ .

La desigualdad $\operatorname{tr}(A^TBA)\ge\|A^T\|_2\|B\|_2\|A\|_2$ se equivoca. Por ejemplo, para cada $0<t<1$ tenemos $$ \operatorname{tr}(A^TBA):=\pmatrix{0&1}\pmatrix{1\\ &t}\pmatrix{0\\ 1}=t<1=\|A^T\|_2\|B\|_2\|A\|_2. $$