En la fórmula de la pág. 19 después de "Diferenciando exteriormente esto, tenemos" el autor utilizó la ecuación estructural de Cartan
$$d\omega_k = \omega_{kj}\wedge \omega_j $$
que define el $\omega_{kj}$ dada la base $\{\omega_k\}$ del espacio cotangente $T^*_xM$ dual a la base $\{e_k\}$ en $T_xM$ para todos $x\in M$ .
En particular
$$ d(a_{i_1\cdots i_{p-1},j}\wedge w_j)=da_{i_1\cdots i_{p-1},j}\wedge \omega_j+ a_{i_1\cdots i_{p-1},j}d \omega_j = da_{i_1\cdots i_{p-1},j}\wedge \omega_j + a_{i_1\cdots i_{p-1},k}d \omega_k = da_{i_1\cdots i_{p-1},j}\wedge \omega_j + a_{i_1\cdots i_{p-1},k} \omega_{kj}\wedge \omega_j $$
EDITAR
Tras un cambio en el OP, actualizo mi respuesta. Sabemos que
$$d(a_{i_1\cdots i_{p-1},j}\wedge w_j) = da_{i_1\cdots i_{p-1},j}\wedge \omega_j + a_{i_1\cdots i_{p-1},k} \omega_{kj}\wedge \omega_j; $$
comenzamos por demostrar que
$$d(a_{i_1\cdots i_{p-1},j}\wedge w_j) = da_{i_1\cdots i_{p-1}} \wedge \omega_{j_a i_a} + a_{i_1\cdots j_a\cdots i_{p-1}} \wedge \omega_{j_a k} \omega_{ki_a} + \\ \frac{1}{2} a_{i_1\cdots j_a\cdots i_{p-1}}\mathcal R_{j_a i_a k l} \omega_l \wedge \omega_k, $$
es decir, la segunda ecuación de la página 19 de la referencia.
Por definición de la derivada covariante (primera definición en la pág. 19), tenemos
$$ d(a_{i_1\cdots i_{p-1},j}\wedge \omega_j) = d^2 a_{i_1\cdots i_{p-1}} + da_{i_1\cdots j_a \cdots i_{p-1}} \omega_{j_a i_a} + a_{i_1\cdots j_a \cdots i_{p-1}}d \omega_{j_a i_a} = da_{i_1\cdots j_a \cdots i_{p-1}} \omega_{j_a i_a} + a_{i_1\cdots j_a \cdots i_{p-1}}d \omega_{j_a i_a}.~~(*) $$
Basta con aplicar la segunda ecuación estructural de Cartan (pág. 16)
$$d \omega_{j_a i_a}= \omega_{j_a k}\wedge \omega_{k i_a} + \frac{1}{2}\mathcal R_{j_a i_a k l} \omega_l \wedge \omega_k $$
a la H.R. de (*) y llegar al resultado. Podemos pasar a la ecuación original en la OP. El segundo término en la s.r. de dicha ecuación se desprende del uso de la definición de la derivada covariante en $d a_{i_1\cdots i_{p-1},j}$ De hecho
$$ a_{i_1\cdots i_{p-1},jk}\omega_k =d a_{i_1\cdots i_{p-1},j} + a_{i_1\cdots k_a\cdots i_{p-1},j}\omega_{k_a i_a}. $$
La ecuación anterior es la definición de la derivada covariante de los símbolos $a_{i_1\cdots i_{p-1},j}$ . Invirtiéndolo llegamos a
$$ d a_{i_1\cdots i_{p-1},j} = a_{i_1\cdots i_{p-1},jk}\omega_k - a_{i_1\cdots k_a\cdots i_{p-1},j}\omega_{k_a i_a}, $$
como se desee.
