Derivación de la fórmula $(I + cd^T)^{-1} = I - \frac{cd^T}{1 + d^Tc}.$

Question

En el libro está la siguiente fórmula:

Dejemos que $c$ y $d$ sea $n \times 1$ columnas no nulas, de manera que $1+d^Tc \neq 0$ entonces $$(I + cd^T)^{-1} = I - \frac{cd^T}{1 + d^Tc}.$$

Si $1+d^Tc \neq 0$ entonces $\big(I + cd^T\big)\big(I - \frac{cd^T}{1 + d^Tc}\big) = I$ por lo que la ecuación es correcta. Pero estoy tratando de derivar la fórmula. He intentado resolver la siguiente ecuación $(I + cd^T)= (I + X)$ pero sin éxito.

¿Cómo puedo derivar dicha fórmula? Gracias.

Answer 1

El planteamiento de la serie en los comentarios funciona, pero lo siguiente podría ser más sencillo: Empezamos con su ansatz $$(I + cd^T)^{-1} = (I + X)$$ y calcular $$ I = (I + cd^T)(I + X) = I + cd^T + X + cd^TX $$ pero también $$ I = (I + X)(I + cd^T) = I + cd^T + X + X cd^T. $$ Comparando estos, encontramos $$ Xcd^T = cd^T X. $$ Así que $X$ y $cd^T$ conmutar. Ciertamente, todos los polinomios en $cd^T$ viajar con $cd^T$ pero esperemos simplificarnos la vida y probar primero con el tipo de polinomio más fácil que pueda funcionar, es decir, con $X = a cd^T$ donde $a$ es un escalar. Volviendo a la ecuación anterior (restando $I$ en ambos lados), tenemos $$ 0 = cd^T + acd^T + acd^Tcd^T.$$ Ahora tenemos que mirar de cerca y ver que $d^Tc$ en el último término también es un escalar y, por lo tanto, puede trasladarse al frente (¡un truco muy útil!): $$ 0 = cd^T + a cd^T + a(d^Tc) cd^T$$ Factorización $cd^T$ en el lado derecho, obtenemos un producto de una matriz y un escalar. Sabemos que la matriz es distinta de cero, así que para que el producto sea cero el escalar tiene que serlo: $$0 = 1 + a + a(d^Tc)$$ Resolver para $a$ resultados en $$a = \frac {-1} {1 + d^Tc}$$ si $1 + d^Tc \neq 0$ .

Answer 2

Existen fórmulas para ello, pero tal vez no esté permitido utilizarlas. Se trata del llamado "cálculo de rango 1". También se conoce como Sherman-Morrison fórmula.

$$({\bf A+uv}^T)^{-1} = {\bf A}^{-1} - \frac{{\bf A}^{-1}{\bf uv}^T{\bf A}^{-1}}{1+{\bf v}^T{\bf A}^{-1}{\bf u}}$$

Ahora, ponte $\bf A = I$ y probablemente puedas ver lo que sucede.