Encontrar el valor esperado de de $\int_0^s \sqrt{t+B_t^2}dB_t$ ?

Question

¿Cómo puedo encontrar el valor esperado de $\int_0^s \sqrt{t+B_t^2}dB_t$ ? Sé que una condición es mostrar que si:

$f: (0,\infty) \times \Omega \to \mathbb{R}$ es progresivamente medible y $$\mathbb{E} \left( \int_0^s |f(t)|^2 \, dt \right)<\infty \quad \text{for all $ s \geq 0 $}$$ entonces

$$M_s := \int_0^s f(t) \, dB_t, \qquad s \geq 0,$$

es una martingala.

Sin embargo, no sé cómo probar lo anterior ni conozco ningún nombre bueno para ello. ¿Hay alguna forma de hacerlo mediante la fórmula de Ito para el espacio y el tiempo o algún otro método directo? Gracias.

Answer 1

Creo que ya has escrito todo lo que necesitas para resolver tu problema.

Sobre la mensurabilidad. Supongo que estamos hablando de la filtración $\mathcal F_t$ que es generado por el movimiento browniano dado $B_t$ . Entonces $f(t)=\sqrt{t+B_t^2}$ es progresivamente medible con respecto a $\mathcal F_t$ . De hecho, $B_t$ es progresivamente medible con respecto a la $\mathcal F_t$ (se adapta a $\mathcal F_t$ por la definición de esta filtración y tiene caminos continuos a.s.). La función $g(t)=t$ también es progresivamente medible con respecto a $\mathcal F_t$ (no es aleatorio). Dado que $f(t)$ es una función medible de $B_t$ y $g(t)$ También se puede medir progresivamente.

Sobre la expectativa. Tenemos $$\mathbb E \left(\int_0^s|f(t)|^2 dt\right)=\mathbb E \left(\int_0^st+B_t^2 dt\right)=\mathbb E \left(\frac{s^2}{2}+\int_0^sB_t^2 dt\right)=\frac{s^2}{2}+\mathbb E \left(\int_0^sB_t^2 dt\right).$$ Ahora, por el teorema de Tonelli, podemos intercambiar la expectativa y la integración en el último término: $$\mathbb E \left(\int_0^sB_t^2 \ dt\right)=\int_0^s\mathbb E(B_t^2)\ dt=\int_0^s t \ dt=\frac{s^2}{2}.$$ Obtenemos que
$$\mathbb E \left(\int_0^s|f(t)|^2 dt\right)=s^2<\infty.$$ Ahora concluimos que su integral es una martingala, y su valor esperado es por tanto cero.

Answer 2

En su caso tiene $f(t)= \sqrt{B_t^2+t}$ Así que hay que comprobar si $$ \Bbb E \biggl[ \int_0^s B_t^2+t \; dt \biggr] < \infty. $$ Tenga en cuenta que $f$ es progresivamente medible desde $B$ está adaptado. Intercambiando ambas integrales obtenemos que $$ \Bbb E \biggl[ \int_0^s B_t^2+t \; dt \biggr]= \int_0^s \Bbb E \bigl[B_t^2+t \bigr] \; dt =\int_0^s 2t \; dt = s^2. $$ Así que el proceso $(\int_0^s \sqrt{B_t^2+t} \;dB_t)_{s \geq 0}$ es una martingala y por lo tanto tiene una expectativa constante. Por lo tanto, $$ \Bbb E \biggl[ \int_0^s \sqrt{B_t^2+t} \; dBt \biggr]=\Bbb E \biggl[ \int_0^0 \sqrt{B_t^2+t} \; dBt \biggr]=0. $$