Un grupo de $n\geq 6$ miembros deciden separarse y viajar en $n-3$ partidos. ¿Cuántas relaciones de equivalencia existen en el conjunto de los miembros de tal manera que los miembros de cada grupo de viaje forman una clase de equivalencia?
Las relaciones de equivalencia son un reto en mi curso de matemáticas discretas y se espera que conozca el material para un próximo examen parcial, así que ¿podría alguien guiarme en la solución del problema anterior?
Piensa en el tamaño de la $n-3$ partidos. Para concretar, tomemos $n=10$ . Queremos $7$ grupos fuera de $10$ personas. Está claro que la mayoría de la gente estará en un grupo solo. Podríamos tener $10=1+1+1+1+1+1+4$ que tiene seis grupos simples y un grupo de cuatro. Si esta es la división del grupo, entonces hay ${10\choose 4}=210$ formas de elegir el grupo de cuatro; una vez seleccionado éste, se determinan todos los grupos. Estos son $210$ posibles relaciones de equivalencia que son una respuesta parcial a la pregunta.
También podríamos tener $10=1+1+1+1+1+2+3$ que tiene cinco grupos de solteros, un par y un grupo de tres. Hay ${10\choose 3}=120$ formas de elegir el grupo de tamaño $3$ y ${7\choose 2}=21$ formas de elegir la pareja entre las personas restantes. Por lo tanto, hay $120\cdot 21=2520$ posibles relaciones de equivalencia para este escenario.
También hay $10=1+1+1+1+2+2+2$ que dejaré para que lo consideres. Resulta que siempre hay sólo tres posibilidades, para todos $n\ge 6$ (no sólo $n=10$ ).
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