Empezaré respondiendo a la pregunta sobre los polinomios con $N$ coeficientes no nulos y una raíz no nula de multiplicidad $N-1$ . Polinomios de la forma $(x-a)^{N-1}$ no son los únicos polinomios de este tipo.
Teorema: Dejemos que $m_{N}>m_{N-1}>\cdots >m_1\geq 0$ sea $N$ dados enteros, y $a$ algún número complejo no nulo. Existe un único polinomio mónico $$f(x)=\sum_{i=1}^{N} c_ix^{m_i}$$ que tiene $a$ como raíz de la multiplicidad $N-1$ .
Prueba: Los coeficientes $c_i$ debe satisfacer $c_{N}=1$ y $N-1$ ecuaciones lineales de $\frac{d^i}{dx^i}f (a)=0$ para $i=0,1,\dots,N-2$ . Si definimos la matriz $$A=\Big((j-1)!\binom{m_{N-i}}{j-1}a^{m_{N-i}}\Big)_{i,j=1}^{N-1}$$ nuestras ecuaciones en las variables $v=(c_{N-1},\dots,c_1)$ puede escribirse como $$Av^{T}=w$$ donde $w=-a^{m_N}(1,m_N,2\binom{m_N}{2},\dots,(N-2)!\binom{m_N}{N-2})$ . Por último, observe que $A$ es invertible ya que se puede modificar fácilmente a una matriz de tipo Vandermonde (como aquí ).
Ahora bien, en cuanto a tu primera pregunta nunca he visto que este tipo de lemas se llamen con un nombre específico, y parecen ser folclóricos. Un artículo reciente que habla de varias generalizaciones es "Multiplicidades de las raíces y número de coeficientes no nulos de un polinomio" lo que demuestra que este tipo de resultados tienen análogos en la característica positiva. Usted puede encontrar un par de otras referencias allí, también.
