¿Cuál es la solución asintótica de las raíces de $x^n+a_1 \epsilon x^{n-1} +\cdots+ a_{n-1}\epsilon^{n-1}x+a_n \epsilon^n$ ?

Question

El polinomio con el que estoy trabajando es:

$$ \lambda^n +\frac{\epsilon}{p \ 1!}\lambda^{n-1} +\frac{\epsilon^2}{p^2 2!}\lambda^{n-1} +\dots +\frac{\epsilon^{n-1}}{p^{n-1} (n-1)!}\lambda +\frac{\epsilon^{n}}{p^n (n!)} =0 $$

He estado buscando en Internet un método para encontrar su solución, y lo más parecido que he encontrado es este . En el documento sólo tratan con polinomios con coeficientes conocidos, y gran parte de su método es gráfico.

¿Puede alguien ayudarme a desentrañar el papel o indicarme otro recurso que pueda ayudarme?

Answer 1

El polinomio anterior se puede transformar en la función de suma exponencial:

$$ e_n = \sum_{k = 0}^n \frac{x^k}{k!} $$

Se sabe que las raíces de este polinomio se aproximan a la curva en el disco unitario $|x e^{1-x}|=1$ para grandes $n$ . No es necesaria la teoría de la perturbación.