Demostrar que $a < b\sqrt{3}$ en las condiciones dadas

Question

Hay números enteros $a$ y $b$ tal que:

1) $a > b > 1$

2) $ab+1$ es divisible por $a+b$ y $ab-1$ es divisible por $a-b$ .

Demostrar que $a < b\sqrt{3}$ .

Es muy difícil, ¿ves alguna solución?

Answer 1

1. Si $a$ y $b$ comparten un factor común, entonces también lo comparten $a+b$ y $ab$ y, por tanto, no por $ab+1$ y no podríamos tener el punto 2). Por lo tanto $a$ y $b$ son relativamente primos.

2. El punto 2) implica que $b^2-1$ es divisible por $a+b$ y $a-b$ y, por tanto, su mínimo común múltiplo $\mathrm{lcm}(a+b,a-b) = (a+b)(a-b) / \mathrm{gcd}(a+b,a-b)$ .

3. Desde $b^2-1 > 0$ se deduce que $b^2-1 \geq \mathrm{lcm}(a+b,a-b) = (a+b)(a-b) / \mathrm{gcd}(a+b,a-b)$ .

4. ¿Qué factores comunes pueden $a+b$ y $a-b$ ¿Tener? Si comparten un impar prime $p$ como factor común, entonces $a$ y $b$ comparten ese primo como factor común; pero $a$ y $b$ son relativamente primos para la primera entrada de esta lista. Si $a+b$ y $a-b$ son ambas divisibles por $4$ entonces $a$ y $b$ son ambas pares, lo que también descartamos. Así pues, $\mathrm{gcd}(a+b,a-b)$ es $1$ o $2$ .

5. En resumen, $b^2 - 1 \geq (a+b)(a-b)/2$ . Multiplicar por $2$ para obtener $2b^2 - 2 \geq a^2 - b^2$ . Añada $b^2$ para $3b^2 - 2 \geq a^2$ de lo que se deduce que $3b^2 > a^2$ . Luego saca la raíz cuadrada.

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Edita: En los comentarios me han pedido que explique el paso 2. A saber:

2+. Dado que $ab+1$ es divisible por $a+b$ así es $(ab+1) - b(a+b) = -b^2 + 1 = -(b^2-1)$ .

2-. Dado que $ab-1$ es divisible por $a-b$ así es $(ab-1) - b(a-b) = b^2-1$ .

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Quizá sea útil mencionar algunas palabras sobre cómo encontré la solución. El problema consistía en demostrar el límite $a < b\sqrt 3$ . Me pregunté: en lugar de demostrar ese límite concreto, ¿podemos dar algún límite? Es decir, ¿podemos refutar la posibilidad de que $a \gg b$ ?

Bueno, dije, si $a \gg b$ entonces $a \pm b \approx a$ . Así que sé que $ab \pm 1$ es divisible por algo aproximadamente $a$ . ¿Cuál debe ser el cociente? $ab \pm 1 \approx ab$ Así que $(ab \pm 1) / (a \pm b) \approx b$ . Ok, entonces vamos a restar $b(a\pm b)$ y ver lo que queda.

Genial, entonces $b^2 - 1$ es divisible por algo aproximadamente $a$ . Desde $b>1$ esto ya da algún límite: dice que $b^2 \gtrsim a$ . Quería un enlace de la forma $b \gtrsim a$ hasta alguna constante fija, y aún no he llegado, pero al menos he descartado, digamos, $a \sim b^{1000}$ .

Ok, no he utilizado las dos condiciones de la línea 2). Sé que algo aproximadamente $b^2$ es divisible por dos cosas diferentes que son aproximadamente $a$ . Quiero $b^2 \gtrsim a^2$ --- como tengo dos mandatos, tengo $b^2 \gtrsim \mathrm{lcm}(\approx a,\approx a)$ . Y los lcms suelen ser productos, porque los números grandes suelen tener pocos factores comunes grandes.

¿Pero puedo demostrarlo? Ah, no he utilizado las condiciones establecidas a partir de 2), sólo sus corolarios sobre $b^2-1$ . Estos corolarios implican obviamente que $a,b$ son linealmente independientes. Y eso es casi lo que quiero. De hecho, quiero encontrar un límite en $\mathrm{gcd}(a+b,a-b)$ y tengo un límite en $\mathrm{gcd}(a,b)$ (de hecho, sé que este último es $1$ ). ¿Tal vez sea todo lo que necesito? Sí: $\mathrm{gcd}(a,b)=1$ implica $\mathrm{gcd}(a+b,a-b)\leq 2$ .