Demuestre o refute la siguiente afirmación sobre el espectro de $p(A,A^*).$

Question

Dejemos que $A$ sea un operador lineal compacto en un espacio de Hilbert $\mathcal H.$ Dejemos que $p(A,A^*) = \sum\limits_{i,j = 1}^{k} a_{ij} A^i {A^*}^j$ sea un polinomio en $A$ y $A^*.$ Aquí $a_{ij} \in \mathbb C$ para todos $i,j = 1,2, \cdots, k.$ Demostrar o refutar

$$\sigma (p(A,A^*)) = \left \{p(\lambda, \overline {\lambda})\ \big |\ \lambda \in \sigma (A) \right \}.$$

Puedo demostrar que $$\left \{p(\lambda, \overline {\lambda})\ \big |\ \lambda \in \sigma (A) \right \} \subseteq \sigma (p(A,A^*)).$$ Pero no creo que la otra parte de la inclusión sea cierta. Pero no he podido encontrar un contraejemplo adecuado. ¿Podría alguien ayudarme en este sentido?

Muchas gracias.

Answer 1

Dejemos que $p(X,Y) = -X+Y$ , $\mathcal H = \mathbb C^2$ y $A= \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ . Entonces, tenemos: $$\sigma(A) = \sigma(A^*)= \{0\} \qquad \text{and} \qquad \{p(\lambda,\bar\lambda):\lambda\in\sigma(A)\} = \{0\}$$ mientras que : $$p(A,A^*) = \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}$$ y : $$\sigma(p(A,A^*)) = \{i,-i\}$$