¿Cuándo $\int_a^\infty g(x)/f(x)\,dx$ ¿converger?

Question

¿Cuándo $\int_a^\infty g(x)/f(x) \,dx$ ¿converger?

Donde $g$ y $f$ son polinomios.

No estoy tan seguro de este patrón. Considera,

$\int_1^\infty \frac{1}{x^3 + x^2 + x + 1} \, dx$ esta integral converge, pero $\int_1^\infty \frac{4x^2}{x^3 + x^2 + x + 1} \,dx$ no converge.

¿Cómo puedo saber cuándo converge? ¿Y cuál es el patrón?

Answer 1

CONSEJO: Para cualquier exponente $r$ , ya sabes cuando $\int_1^\infty x^r \,dx$ converge.

Converge si $r < -1$ .

Así que en el caso general, compara con esta integral.

Answer 2

En la integral $\displaystyle \int_1^\infty \frac{4x^2}{x^3 + x^2 + x + 1} \,dx$ los términos principales del numerador y del denominador son $4x^2$ y $x^3$ , por lo que como $x\to\infty$ va a $0$ a un ritmo comparable al de $4x^2/x^3 = 4/x$ por lo que la integral diverge.

$$ \frac{4x^2}{x^3+x^2+x+1} = \frac 4 {x + 1 + \dfrac 1 x + \dfrac 1 {x^2}} \ge \frac 1 x \text{ if } x\ge 1, \text{ and } \int_1^\infty \frac{dx} x = \infty. $$

Por el contrario $\dfrac 1 {x^3+x^2+x+1} \le \dfrac 1 {x^2}$ y $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{dx}{x^2}<\infty.$