Si $ U$ es máxima entre los ideales no principales, demuestre que $U$ es primo. (¿Pistas?)

Question

Dejemos que $R$ sea conmutativo con $1$ . Si $U$ es máxima entre los ideales no principales, demuestre que $U$ es primo.

Posible vía de prueba:

Supongamos que $ab \in U$ y $a \notin U$ Considere $U+(a)$ . He tratado de demostrar que "el ideal máximo es primo", pero no consigo llegar a ninguna parte. ¿Alguna pista?

P.D. Por favor, no proporcionen enlaces a las familias Oka o Ako. Acabo de empezar con el álgebra.

Answer 1

Esto es un ejercicio $10$ del capítulo $1$ , sección $1$ del texto

Kaplansky ${\,-\,}$ Anillos Conmutativos, Rev Ed (1974)

Desgranando la extensa insinuación del autor, podemos argumentar lo siguiente. . .

Dejemos que $U$ sea un ideal no principal de $R$ que es máxima entre todos los ideales no principales de $R$ .

Supongamos que $U$ no es primo.

Nuestro objetivo es derivar una contradicción.

Dejemos que $ab \in U$ con $a,b\notin U$ .

Entonces $(U,a) = (c)$ para algunos $c\in R$ .

Dejemos que $V=\{x\in R\mid cx \in U\}$ .

Está claro que tenemos $U \subseteq V$ .

Desde $(U,a)=(c)$ tenemos $u+ra=c$ para algunos $u\in U$ y algunos $r\in R$ . \begin{align*} \text{Then}\;\;&u+ra=c \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \\[4pt] \implies\;&b(u+ra)=bc\\[4pt] \implies\;&bu+r(ab)=bc\\[4pt] \implies\;&bc\in U\qquad\text{[since $ab\in U$]}\\[4pt] \implies\;&b\in V \end{align*} Desde $U \subseteq V$ y $b \in V\setminus U$ tenemos la inclusión adecuada $U\subset V$ Por lo tanto $V=(d)$ para algunos $d\in R$ .

Ahora dejemos que $u$ sea un elemento arbitrario de $U$ .

Desde $U\subset (U,a)=(c)$ obtenemos $u=cy$ para algunos $y\in R$ . \begin{align*} \text{Then}\;\;&u=cy\\[4pt] \implies\;&cy \in U\\[4pt] \implies\;&y\in V&&\text{[by definition of $V$]}\\[4pt] \implies\;&y = dz,\;\text{for some}\;z\in R&&\text{[since $V=(d)$]}\\[4pt] \implies\;&u = c(dz)\\[4pt] \implies\;&u \in (cd)\\[4pt] \end{align*} Así, $U\subseteq (cd)$ .

Además, como $d\in V$ , entonces por definición de $V$ obtenemos $cd\in U$ Por lo tanto $(cd) \subseteq U$ .

Pero entonces $U=(cd)$ En contra de la suposición de que $U$ no es principal.

De ello se desprende que $U$ es primo.

Answer 2

Supongamos que ab está en U, consideremos el ideal J=U+(a), si a no está en U entonces J contiene propiamente a U así que por maximalidad de U ,J=R.Por lo tanto hay u en U &c en R tal que 1=u+ac, multiplicando ambos lados por b y usando que ab está en U concluimos que b está en U.