Encontrar todas las funciones holomorfas $f:D\to\mathbb C$ donde $D$ es el disco unitario abierto tal que $f(\frac{1}{n^3})=\frac{1}{n}$

Question

Encontrar todas las funciones holomorfas $f:D\to\mathbb C$ donde $D$ es el disco unitario abierto tal que $f(\frac{1}{n^3})=\frac{1}{n}$ para todos $n\in\{2,3,4,..,\}$ . Acabo de hacer una pregunta similar para $f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n^3}$ donde he mostrado $f(z)=z^3$ necesariamente por el teorema de la identidad. Creo que no existen tales funciones, $f(z)=z^{\frac{1}{3}}$ funciona pero no es holomórfico. Si no hay ninguna, ¿cómo podría mostrar esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(0)=0$ por continuidad, por lo que si $g(z)=f(z^3)$ holomorfo en el disco abierto, se tiene $g(z)-z=0, z=0,1/2,..1/n,..$ por lo que por el principio de identidad $g(z)=z$ o $f(z^3)=z$

Escribir la serie Taylor de $f(z)=a_1z+a_2z^2+..$ obtenemos $z=a_1z^3++..$ para todos $|z|<1$ y eso es obviamente imposible así que hemos terminado y no hay tal $f$ existe

Answer 2

Desde $f(\frac{1}{n^3}) = \frac{1}{n}$ se entiende que $f(0) = 0$ basado en la definición de la derivada f(z) no es diferenciable en $0$ .