¿Puede la norma de vector "induce" deducida o "recuperada" de una norma inducida?

Question

Puede la "inducción" vector de la norma se deduce o "recuperado" de un inducido (operador) de la norma?

Esta pregunta se me ocurrió después de ver a esta pregunta. Tengo la esperanza de que tal vez existe algo parecido a la polarización de la identidad, es decir, la identidad se puede utilizar para "recuperar" el vector de norma de la misma manera la polarización de la identidad "recupera" el interior del producto.

Soy consciente de que cualquier inducida por la norma satisface la desigualdad $$ \left|\|^r\|\right|^{1/r} \geq \rho(A) $$ También, existe una matriz invertible $S$ tal que $$ \left|\|SAS^{-1}\|\| derecha = \rho(A) $$ Me pregunto si uno o ambos de los de arriba también puede ser una condición suficiente para $\left|\|\cdot \|\right|$ a ser un derivado de la norma, y que de alguna manera podría ser utilizada para obtener algún tipo de identidad de generar la necesaria vector de norma.

Cualquier aporte es apreciado!

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Runaway train de pensamiento a continuación:

Siguiente HHO del consejo (véase el comentario de abajo), he aquí una buena manera de recuperar el vector de norma (suponiendo que un vector adecuado norma no existe):

Deje $\|\cdot \|_O$ denota el operador de la norma. Voy a definir un vector de norma $\|\cdot \|$ como sigue: arbitrariamente, me $\|e_1\| = 1$ (debido a $\alpha \|\cdot\|$ es un vector de norma para cualquier $\alpha>0$ y cualquier vector de norma $\|\cdot\|$, y ya que ambos de estos resultados en el mismo inducida por la norma, podemos establecer $\|e_1\| = \alpha$ cualquier $\alpha>0$). Desde allí, se puede definir $$ \|u\| = \left\| u e_1^* \right\|_O = \left\| \pmatrix{|&|&&|\\ u&0&\cdots&0\\ |&|&&|} \right\|_O $$ Lo que queda por ver es en qué condiciones esto define una válida vector de norma.

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De hecho, la anterior debe ser siempre válido de un vector de norma, por la definición de una matriz de norma. Es necesario comprobar si el vector de norma elaborada arriba induce el operador de la norma que hemos empezado.

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Por lo anterior, he aquí una cuidada criterio para comprobar si $\|\cdot\|_O$ es un operador de la norma:

Podemos afirmar que $\|\cdot\|_O$ es un inducida (matriz) de la norma si y sólo si para todos los $A \in \mathbb{F}^{n\times n}$, tenemos $$ \|\|_O = \max_{x \neq 0} \frac{\|Ax e_1^*\|_O}{\|xe_1^*\|_O} $$ y, presumiblemente, $e_1$ puede ser sustituido por ninguna conveniente $v \in \mathbb{F}^n: v^*v = 1$. Supongo que respondió a mi propia pregunta.

Es este un conocido teorema? Esta pregunta es ahora una referencia de la solicitud. Si alguien ha visto algo como esto, por favor decirlo.

Answer 1

Deje $V$ ser un espacio vectorial topológico. Deje $O(V)$ ser el espacio de continua a los operadores en $V$, dotado con el fuerte operador de la topología. Suponga que $O(V)$ puede ser dada una estructura de normativa del espacio con la norma $\| \cdot \|$, con la norma de la generación de los fuertes operador de la topología de $O(V)$.

Deje $f \in V^* \setminus \{ 0 \}$ ser lineal y continuo funcional. Es fácil mostrar que $v \otimes f$ es un operador lineal continuo, desde la $f$ es así. Definir $\| v \| _f = \| v \otimes f \|$. De nuevo, es fácil demostrar que esta es una norma.

Vamos a mostrar que la topología de la $\| \cdot \| _f$ es el mismo que el original de $V$. Deje $(v_i) _{i \in I}$ ser una red convergente a $v$ en la topología de $V$. Entonces

$$\begin{align} v_i \underset {i \in I} \to v \Leftrightarrow \\ f(u) v_i \underset {i \in I} \to f(u) v \; \forall u \in V \Leftrightarrow \\ (v_i \otimes f) (u) \underset {i \in I} \to (v \otimes f) (u) v \; \forall u \in V \Leftrightarrow \\ v_i \otimes f \underset {i \in I} \to v \otimes f \Leftrightarrow \\ \|v_i \otimes f - v \otimes f \| \underset {i \in I} \to 0 \Leftrightarrow \\ \|(v_i - v) \otimes f \| \underset {i \in I} \to 0 \Leftrightarrow \\ \| v_i - v \| _f \underset {i \in I} \to 0 \; . \end{align}$$

Finalmente, el operador de la norma $\| \cdot \| _1$ inducida en $O(V)$ $\| \cdot \| _f$ ser dado por $\| U \| _1 = \sup \{ M>0 | \; \| Uv \| _f \le M \| v \| _f \}$, como de costumbre. Deje $U_i \to U$ en esta norma. Tenemos $\| (U_i - U)v \| _f \le \|U_i - U \| _1 \| v \| _f$, lo $\| (U_i - U)v \| _f \to 0$, lo $U_i v \to Uv$ en la topología original de $V$, lo $U_i \to U$ en la topología de $O(V)$ y, ya que este se supone que es dado por $\| \cdot \|$, obtenemos $\| U_i - U \| \to 0$, por lo que la topología de $\| \cdot \| _1$ es más fuerte que la topología de $\| \cdot \|$. Sospecho, pero no puede demostrar, que las dos topologías de hacer no coinciden.

Además, si $\| \cdot \|$ ha complementaria de la propiedad que $\| UV \| \le \| U \| \| V \|$, entonces podemos obtener aún más: desde $Uv \otimes f = U \circ (v \otimes f)$,$\| Uv \| _f = \| Uv \otimes f \| = \| U \circ (v \otimes f) \| \le \| U \| \| v \otimes f \| = \| U \| \| v \| _f$, lo $\| \cdot \| \le \| \cdot \| _1$. De nuevo, creo que el opuesto de la desigualdad hace que no se mantenga, pero no sé cómo demostrarlo.