¿Es matemáticamente válido separar variables en una ecuación diferencial?

Question

Leí la siguiente declaración en un libro de Cálculo, como parte de mi curso de matemáticas:

Técnicamente, esta separación de $\frac{dy}{dx}$ no es matemáticamente válida. Sin embargo, la integración resultante conduce a la respuesta correcta.

El libro también contiene lo siguiente:

Para resolver una ecuación diferencial por separación de variables:

• pon todos los valores de $x$ en un lado y todos los valores de $y$ en el otro lado mediante multiplicación y división.
• separa $\frac{dy}{dx}$ como si fuera una fracción.
• integra ambos lados.

Nota: Este cuadro no se refiere a un problema en particular. Se refiere a una clase de problemas de ecuaciones diferenciales que se pueden resolver utilizando el Método de Separación de Variables.

Mi profesor de matemáticas de la escuela secundaria me dijo que esta es la forma más fundamental de resolver ecuaciones diferenciales, pero el libro de texto dice que no es matemáticamente válido. No logro entender por qué se siguen ciertos métodos sin tener una prueba matemática. ¿O estoy equivocado?

Answer 1

El problema con esta forma de separación de variables (digo "esta forma" porque "separación de variables" puede referirse a varias cosas) es que tratar la derivada $dy/dx$ como una razón es una manipulación algebraica puramente formal. Existe una forma de llegar a los mismos resultados de manera rigurosa, pero los libros de texto a menudo no abordan esto.

Para elaborar, la separación de variables en EDOs comúnmente se refiere a un método de resolver la EDO $$ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) $$ para la función desconocida $y(x)$. Los libros introductorios a menudo te dicen que dividas la "fracción" $dy/dx$ y que unifiques variables comunes, así: $$ \frac{dy}{h(y)} = g(x)dx $$ y luego integrar ambos lados, siempre que $h(y)\neq 0$, para obtener $$ H(y(x)) = \int g(x)~dx + C, $$ donde $H(y)$ es una antiderivada de $\frac{1}{h(y)}$.

Desafortunadamente, "$dy$" y "$dx$" no tienen un significado matemático real en este contexto, por lo que todo lo que hemos hecho es realizar un pequeño truco algebraico sin entender por qué funciona. Para resolver esto, reorganizamos: $$ \frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx} = g(x). $$ Integrando en $x$, $$ \int \frac{1}{h(y(x))}\frac{dy}{dx}(x)~dx = \int g(x)~dx + C. $$ Ahora, si $H(y)$ es una antiderivada de $1/h(y)$, entonces por la regla de la cadena $$ \frac{d}{dx}H(y(x)) = \frac{1}{h(y(x))}\frac{dy}{dx}(x) $$ entonces la integral del lado izquierdo es $$ \int \frac{1}{h(y(x))}\frac{dy}{dx}(x)~dx = \int \frac{d}{dx}H(y(x))~dx = H(y(x)) $$ llevándonos a nuestra conclusión deseada, $$ H(y(x)) = \int g(x)~dx + C. $$

Hacerlo de esta manera proporciona una justificación rigurosa del resultado, pero francamente el abuso de notación con el enfoque simbólico es mucho más fácil de memorizar para la mayoría, por lo que a menudo es la forma en que se enseña a los estudiantes. Sin embargo, creo que no explicar por qué funciona el abuso de notación confunde a muchos estudiantes, tanto sobre el método como sobre su ya endeble comprensión de la derivada.

Answer 2

Estás entendiendo mal lo que quieren decir con "no válido matemáticamente" en esta situación. Tiene poco que ver con si hay una prueba y más con cierto formalismo.

Cuando escribimos $\frac{dy}{dx}$ estoy seguro de que ya has escuchado que esto no es una fracción. En particular, en realidad esto significa aplicar el operador diferencial $\frac{d}{dx}$ a la función $y$.

Entonces, cuando realizamos la separación de variables al pasar de $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ a $\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx$ hemos hecho algo que parece ser fundamentalmente incorrecto: tomamos el operador $\frac{d}{dx}$ y lo dividimos como si fuera una fracción. Obviamente esto no tiene sentido si realmente pensamos en $\frac{d}{dx}$ como un operador y, además, el $dx$ y $dy$ con los que terminamos tampoco tienen sentido ya que ni siquiera sabemos lo que deberían significar.

Por otro lado, las integrales resultantes $\int\frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx$ realmente tienen un significado matemático razonable y además, asumiendo que $g(x)$ y $h(y)$ no sean terribles, obtienes el resultado correcto.

Ahora, el hecho de que la ecuación integral resultante te dé el resultado correcto es absolutamente demostrable, simplemente no deberíamos haber llegado a eso de la forma en que lo hicimos. En cambio, el siguiente enfoque es apropiado:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$$ luego asumiendo que $h(y)$ no es $0$. $$\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}=g(x)$$ Más adelante, asumiendo que ambos lados son integrables, obtenemos $$\int\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}dx=\int g(x)dx$$ Ahora, realizando una sustitución en la integral de la izquierda obtenemos $$\int\frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx$$

Incluso en esta explicación he hecho trampa en algunos lugares ligeramente, pero es una aproximación razonable para explicar por qué la separación de variables es un método correcto para resolver ecuaciones diferenciales.

Editar De hecho, puedes construir matemáticas de tal manera que $dy$ y $dx$ tengan un significado razonable por sí mismos y que prácticamente puedas tratar $\frac{dy}{dx}$ como una fracción. Esto generalmente se llama matemáticas no estándar y hace uso de algo llamado infinitesimales. Sin embargo, no es particularmente fácil de hacer y aún terminas teniendo algunos problemas.