Fuente necesaria (a nivel de último año de licenciatura) para la doble cobertura de SO(3) por SU(2)

Question

Se trata de una pregunta poco definida, y creo que debería haber sido capaz de resolverla combinando Google con algunos viajes a la biblioteca, pero estoy teniendo dificultades para reducir los resultados de la búsqueda a una lista que realmente pueda recorrer prácticamente. Pido disculpas si la pregunta parece demasiado vaga o no está suficientemente pensada.

Lo que busco es una sección de un libro o artículo publicado que pueda ser utilizado por un estudiante de tercer año como fuente para el hecho de que la acción de SU(2) sobre la esfera de Riemann por transformaciones de Möbius da lugar a una doble cobertura de SO(3). No es necesario que sea demasiado preciso sobre lo que se entiende exactamente por una doble cobertura; pero me gustaría algo que dejara claro que de alguna manera estamos cortando una 3-esfera en 1-esferas (también conocidas como círculos) de una manera inusual, sin decir "dejemos $E$ ser un haz de fibras..." o "considerar la secuencia exacta..." En particular, cualquier cosa que suponga que el estudiante tiene una formación adecuada en topología algebraica o geometría diferencial está probablemente a un nivel demasiado avanzado/sofisticado.

Por supuesto, uno tiene la tentación de simplemente anotar el mapa y ver algunas de sus propiedades: pero para los propósitos actuales es importante que pueda dirigir al estudiante a una fuente citable que sea razonablemente autocontenida (al menos cuando se trata de este resultado en particular). Así, aunque la entrada de wikipedia, por ejemplo, para " Fibración de Hopf " está en la línea deseada, realmente necesito algo más "de aspecto oficial". Por razones similares, no creo que pueda explicar las cosas al alumno en persona; eso no sería correcto, mientras que "señalar al alumno un libro" sí lo sería.

En fin: He pensado que en MO podría haber gente que haya tenido ideas/experiencias similares, ya sea como profesores o como alumnos, y que por lo tanto haya dado con una sección de libro útil que se pueda utilizar. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Aunque en el cuerpo de su pregunta menciona la acción de $SU(2)$ en la esfera de Riemann, la respuesta más sencilla (a mi entender) a la pregunta en sí es entender $SU(2)$ como los cuaterniones de norma unitaria que actúan por conjugación sobre los cuaterniones imaginarios. Es fácil ver que esto define un homomorfismo $SU(2) \to SO(3)$ que es suryente (ya que ambos $SU(2)$ y $SO(3)$ son conectadas) y tiene un núcleo formado por los cuaterniones $\pm 1$ .

Puede encontrar esto en uno de los libros de Coxeter o en el de Elmer Rees Notas sobre geometría .

Answer 2

Cf. Álgebra - Michael Artin

Hay mucho sobre este tema en ese libro. Es uno de los "temas especiales" que incluyó.

Editar: Página 277

Answer 3

Un libro que puedes consultar es "On quaternions and octonions" de Conway y Smith. En él se discute el mapa de los cuaterniones unitarios a $SO(3)$ y da aplicaciones de los cuaterniones a la "geometría en tres dimensiones" con una cantidad razonable de detalles. También discute los octoniones y la construcción Cayley-Dickson muy bien, por lo que es un gran libro para buscar ejemplos interesantes. Una cosa que me gustó es que la forma compacta de $G_2$ son los automorfismos de los octoniones y un álgebra normada, y pensando en términos de bases estándar para los octoniones se calcula la dimensión de $G_2$ esencialmente mostrando que es un haz de esferas iterado, en el espíritu de cómo querías hablar de la fibración de Hopf creo. Estaba usando el libro como recurso en una clase sobre grupos clásicos para estudiantes de tercer año, y al menos me permitió encontrar un grupo no clásico. (Algunos de los estudiantes sabían lo que era un colector, otros no - me pareció justo decirles a los que lo sabían que debían pensar en los ejemplos que teníamos y ver que eran colectores/fibraciones, etc. ¡Util si tienes algunos estudiantes fuertes en la clase!)

Answer 4

"Lie Groups and Algebras with Applications to Physics, Geometry and Mechanics" de Sattinger y Weaver tiene la sección 4, pp. 10-15 titulada "The covering group of SO(3)". La discusión es autocontenida y accesible para los niños de jardín de infancia :)

Answer 5

Estoy de acuerdo en que Artin tiene esto, pero también "Group Theory and Physics" de Sternberg tiene buenas discusiones al principio (alrededor de la página 8-15).