Dejemos que $(x-1)^3$ divide $p(x)+1$ y $(x+1)^3$ divide $p(x)-1$ . Encuentra un polinomio $p(x)$ de grado 5.

Question

Dejemos que $(x-1)^3$ divide $p(x)+1$ y $(x+1)^3$ divide $p(x)-1$ . Encuentra un polinomio $p(x)$ de grado 5.

Esto es lo que he probado:-

Como $(x-1)^3$ divide $p(x)+1$ ,

$p(1)+1=0$ , $p(1)=-1$

$p(-1)=1$

Dejar $p(x)=a_5x^{5} + a_4x^{4} + a_3x^{3} + a_2x^{2} + a_1x + a_0$

No sé cómo seguir adelante.

Creo que la regla de la divisibilidad se va a utilizar en alguna parte.

Answer 1

De la primera condición tenemos $$p(x)=A(x)(x-1)^3-1 .$$ Desde $p(x)$ es de grado $5$ Por lo tanto $A(x)$ debe de grado $2$ . De la segunda condición dada, también tenemos $$A(-1)=-\frac{1}{4}.$$ Esto significa que $$A(x)=(x+1)(sx+t)-\frac{1}{4}.$$ Así, $$p(x)=\left[(x+1)(sx+t)-\frac{1}{4}\right](x-1)^3-1$$ Esperemos que puedas llevarlo desde aquí usando derivados, etc.

Answer 2

Dejemos que $p(x)$ sea de grado 5. Dado que $(x-1)^3|(p(x)+1)$ y $(x+1)^3|(p(x)-1)$ existen dos polinomios $f(x)=ax^2+bx+c$ y $g(x)=a_1 x^2+b_1 x +c_1$ tal que $$ (x-1)^3f(x)-1 = p(x) = (x+1)^3g(x)+1$$ $$ (x-1)^3f(x)- (x+1)^3g(x)-2 = 0$$ $$(x-1)^3(ax^2+bx+c)- (x+1)^3(a_1 x^2+b_1 x +c_1)-2 =0 \enspace \cdots(\ast) $$ En la ecuación $(\ast)$ , poned $x=0$ obtenemos $-c-c_2 -2 =0$

Toma $x=1$ , $-8(a_1+b_1+c_1)-2=0$ .

Toma $x=-1$ , $-8(-a-b+c)-2=0$

Del mismo modo, toma $x=\pm2$ y $x=\pm 3$ . Finalmente, obtendremos $6$ ecuaciones lineales en $6$ variables $a,b,c,a_1,b_1,c_1$ que puede ser resuelto por el método de eliminación de Gauss.