Si rompes un palo en dos puntos elegidos uniformemente, la probabilidad de que los tres palos resultantes formen un triángulo es de 1/4. ¿Existe una buena prueba de esto?

Question

Hay un problema estándar en probabilidad elemental que dice lo siguiente. Considere un palo de longitud 1. Elija dos puntos al azar en el palo, y rompa el palo en esos puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres segmentos así obtenidos formen un triángulo?

Por supuesto, esta es la probabilidad de que ninguno de los palos cortos sea más largo que 1/2. Esta probabilidad resulta ser 1/4. Véase, por ejemplo, el problema 5 de estas soluciones para los deberes .

Me parece que debería haber un buen argumento basado en la simetría para esta respuesta, pero no consigo entenderlo. Recuerdo haber visto una vez una solución a este problema en la que los dos puntos extremos del intervalo se unían para formar un círculo, pero no puedo reconstruirla. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

El problema es, en efecto, elegir uniformemente al azar dos puntos $x,y$ en el intervalo $[0,1]$ de manera que la longitud de cada subintervalo sea inferior a $\frac{1}{2}$ . Esto equivale a la probabilidad de que dos puntos elegidos uniformemente al azar en el intervalo $[0,1]$ caen en el intervalo $[0,\frac{1}{2}]$ que es $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .

Para ver esto, está claro que un punto, digamos $x$ , debe estar en $[0,\frac{1}{2}]$ y otro, digamos $y$ , en $[\frac{1}{2},1]$ . Ahora traduce $y$ hacia atrás por $\frac{1}{2}$ al grano $y'$ . Ahora $y'<x$ para el evento deseado, es decir, para el caso de que la longitud de cada subintervalo sea inferior a $\frac{1}{2}$ . Esto significa que cada evento deseado equivale a tener dos puntos en $[0,\frac{1}{2}]$ y traducir la primera por $\frac12$ .

Answer 2

SOLUCIÓN UTILIZANDO SÓLO LA LÍNEA ORIGINAL: Llamemos a los puntos finales A y B y al punto medio M. Sea N el punto medio de MB. Llamemos P al primer punto aleatorio y Q al segundo. Con toda la generalidad, podemos considerar que P se encuentra entre M y B. En AM, sea H el punto para el que HP es la mitad de la longitud del palo original. Para que los 3 palos formen un triángulo, es necesario y suficiente que la longitud total de 2 palos cualesquiera sea mayor que la del tercero. Por tanto, ningún trozo puede superar la mitad de la longitud del palo original. Esto nos dice inmediatamente que Q no puede estar sobre AH o PB, eliminando inmediatamente la mitad de los puntos posibles para Q. Del mismo modo, todos los puntos sobre MP también se eliminan. Sólo los puntos sobre HM califican como posibles puntos Q. Si dejamos que AB=1, la probabilidad de que los 3 palos puedan formar un triángulo es entonces la longitud media de HM para todos los Ps. Obsérvese que si P=N, el punto medio de MB, entonces HM=MP, por lo que los puntos HM calificados comprenden 1/4 de la longitud del palo y p=1/4 de que se pueda formar un triángulo después de elegir aleatoriamente una Q para este P. De forma similar, para cada P a la derecha de N hay un P coincidente a igual distancia a la izquierda de N, por lo que la probabilidad media (longitud HM) para estos dos Ps es 1/4. Esto da como resultado una probabilidad media global para todo Ps de 1/4.