Si rompes un palo en dos puntos elegidos uniformemente, la probabilidad de que los tres palos resultantes formen un triángulo es de 1/4. ¿Existe una buena prueba de esto?

Question

Hay un problema estándar en probabilidad elemental que dice lo siguiente. Considere un palo de longitud 1. Elija dos puntos al azar en el palo, y rompa el palo en esos puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres segmentos así obtenidos formen un triángulo?

Por supuesto, esta es la probabilidad de que ninguno de los palos cortos sea más largo que 1/2. Esta probabilidad resulta ser 1/4. Véase, por ejemplo, el problema 5 de estas soluciones para los deberes .

Me parece que debería haber un buen argumento basado en la simetría para esta respuesta, pero no consigo entenderlo. Recuerdo haber visto una vez una solución a este problema en la que los dos puntos extremos del intervalo se unían para formar un círculo, pero no puedo reconstruirla. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Una referencia para la solución de este problema es Carlos d'Andrea y Emiliano Gómez, "The broken spaghetti noodle", American Mathematical Monthly 113 (2006), p. 555, JSTOR , sitio web del autor . De forma más general, la probabilidad de que un intervalo roto en n-1 puntos elegidos uniformemente al azar se rompa en trozos que puedan reordenarse para formar un $n$ -gon es $1 - n/2^{n-1}$ .

Answer 2

Parece natural replantear la pregunta en términos de coordenadas baricéntricas en un triángulo. Estas coordenadas son números $x$ , $y$ , $z$ en el intervalo $[0,1]$ que satisface la ecuación $x+y+z=1$ . Buscamos triples $(x,y,z)$ de tales números que satisfacen las tres desigualdades triangulares $x \le y+z$ , $y\le x+z$ y $z\le x+y$ . Sustituyendo las relaciones " $\le$ " por " $=$ ", obtenemos segmentos de línea que unen los puntos medios de las aristas del triángulo. Estos segmentos de línea cortan el triángulo en cuatro subtriángulos congruentes. El central de estos cuatro subtriángulos es la región donde se cumplen las tres desigualdades del triángulo, y esta región tiene un área igual a la cuarta parte del área del triángulo grande.

Este es esencialmente el mismo argumento que en las respuestas de Peter Shor e Ilya Nikokoshev, particularmente en la reformulación de esta última respuesta en el comentario de Ori Gurel-Gurevich

Answer 3

Opción más analítica;

Sin pérdida de generalidad, supongamos que i) el palo es el $[0,1]$ intervalo, ii) y el primer punto de ruptura $x$ se elige uniformemente al azar en $[0,0.5]$ . Ahora, para cada $x$ el siguiente punto $y$ debe estar en $[0.5,x+0.5]$ para garantizar el triángulo. La probabilidad de esta elección es $x$ . Entonces se puede aplicar Bayes con $f(x)=2$ y $f(y|x)=x$ : $$ \Pr\{\text{Triangle Making} \}=\int_0^{0.5} {2}{x}dx=\frac{1}{4} $$

Answer 4

Así es como lo expliqué en la entrada de mi blog de hace unos años como un paso para resolver un problema relacionado:

Si rompemos el palo en dos puntos al azar, $x$ y $y$ las tres piezas resultantes tendrán longitudes $x$ , $(y - x)$ y $(1 - y)$ si $x$ está a la izquierda de $y$

y $y$ , $(x - y)$ y $(1 - x)$ si $x$ está a la derecha de $y$

Las tres piezas forman un triángulo si ninguna de las piezas es mayor que la mitad de la longitud del palo. En otras palabras, si

$(y > 1/2) AND (x < 1/2) AND (y - x) < 1/2$

cuando el punto $x$ está a la izquierda del punto $y$ (primera imagen de arriba), y

$(x > 1/2) AND (y < 1/2) AND (x - y) < 1/2$

cuando $x$ está a la derecha de $y$ (segunda imagen de arriba). Si trazamos las seis desigualdades obtenemos el área que representa la proporción de triángulos formados a partir de nuestro palo roto.

Las regiones sombreadas que representan las condiciones que forman un triángulo suman 1/4 del área total, o una probabilidad de 0,25 de formar un triángulo.

Answer 5

Que AB sea el palo. WLOG podemos suponer que AB=1(Ya que la probabilidad no dependerá de la longitud de AB). Sean P y Q los puntos en los que se rompe el palo.

$AP=x$ , $PQ=y$ y $QB=z$ .

Desde $0\leq AP,PQ,QB \leq 1$ tenemos que considerar todos los puntos dentro del $1\times 1\times 1 $ cubo. Además los puntos se encuentran en el plano x+y+z=1.

x+y+z=1 plano (haga clic en el enlace para ver la imagen del avión)

Al aplicar las desigualdades del triángulo (es decir $x+y>z,y+z>x\text{ and }x+z>y$ ) encontramos que el área neta de los puntos que satisfacen la condición de formar un triángulo es la poción sombreada.

Zona sombreada (Haga clic en el enlace para ver la zona sombreada)

Dado que los puntos $J,K,I$ son los puntos medios de los lados del triángulo ACE.La probabilidad = $\dfrac{\text{Area of }\Delta JKI}{\text{Area of }\Delta ACE}=\dfrac{1}{4}$