Si rompes un palo en dos puntos elegidos uniformemente, la probabilidad de que los tres palos resultantes formen un triángulo es de 1/4. ¿Existe una buena prueba de esto?

Question

Hay un problema estándar en probabilidad elemental que dice lo siguiente. Considere un palo de longitud 1. Elija dos puntos al azar en el palo, y rompa el palo en esos puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres segmentos así obtenidos formen un triángulo?

Por supuesto, esta es la probabilidad de que ninguno de los palos cortos sea más largo que 1/2. Esta probabilidad resulta ser 1/4. Véase, por ejemplo, el problema 5 de estas soluciones para los deberes .

Me parece que debería haber un buen argumento basado en la simetría para esta respuesta, pero no consigo entenderlo. Recuerdo haber visto una vez una solución a este problema en la que los dos puntos extremos del intervalo se unían para formar un círculo, pero no puedo reconstruirla. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Aquí está lo que parece ser el tipo de argumento que estás buscando (basado en un truco que Wendel utilizó para calcular la probabilidad de que el casco convexo de un conjunto de puntos aleatorios en una esfera contenga el centro de la esfera, que es realmente la misma pregunta disfrazada):

Conecta los extremos del palo formando un círculo. Ahora imaginamos que cortamos por tres puntos en lugar de dos. Podemos formar un triángulo si ninguno de los trozos resultantes es al menos 1/2, es decir, si ningún semicírculo contiene los tres puntos de nuestro corte.

Ahora imagina que nuestro corte se forma en dos etapas. En la primera etapa, elegimos tres pares de puntos antípodas en el círculo. En la segunda, elegimos un punto de cada par para cortar. Los conjuntos de tres puntos situados en un semicírculo (los no triángulos) corresponden exactamente a los conjuntos de tres puntos consecutivos de nuestros seis puntos elegidos. Esto significa que 6 de las 8 selecciones posibles en la segunda etapa conducen a un no triángulo, independientemente de los pares de puntos elegidos en la primera etapa.

Answer 2

Consideremos un triángulo equilátero de altura 1. No es difícil demostrar que si se elige un punto al azar en este triángulo, las distancias a los tres lados dan la misma distribución de longitudes que se obtiene al romper un palo en dos puntos al azar. Ahora, el lugar de los puntos para los que ninguna distancia es mayor que 1/2 es el triángulo equilátero más pequeño formado al unir los puntos medios de las aristas, que tiene un área de 1/4 de la del triángulo original.

Answer 3

Un triángulo es posible si ninguna parte es $>{1\over2}$ . Con probabilidad ${1\over2}$ ambos cortes están en el mismo lado del punto medio $M$ en cuyo caso no es posible ningún triángulo. Si los cortes $x$ y $y$ , $\ x < y$ están en diferentes lados de $M$ entonces con probabilidad ${1\over 2}$ el punto $x$ está más a la izquierda en su mitad que $y$ está en la mitad derecha. En este caso tampoco hay triángulo posible. De ello se deduce que sólo ${1\over 4}$ de todos los cortes admiten la formación de un triángulo.

Answer 4

El argumento que recuerdas es del tipo: escogiendo tres puntos en un círculo, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentren en el mismo semicírculo?

El problema se discute aquí:

http://godplaysdice.blogspot.com/2007/10/probabilities-on-circle.html

Answer 5

Sí, ¡aquí hay un bonito y bello argumento!

Primero debes hacer un dibujo de los ejes a y b . Se le pide que seleccione uniformemente un punto en el cuadrado [0,1]x[0,1] . Ahora, debido a la simetría (¡sic!), es equivalente a elegir los puntos a y b uniformemente en el triángulo cortado del cuadrado por b > a .

Así que en realidad estás seleccionando uniformemente un punto dentro de un triángulo definido por líneas a>=0 , b<=1 , 'b>=a'.

Ahora vamos a encontrar las condiciones para poder hacer un triángulo de palos cortos. Deberíamos tener a + (1-b) > b-a , b-a + (1-b) > a y b > 1 - b que efectivamente, como usted dice, se reduce a

b > 1/2,  a < 1/2,  b-a < 1/2  

Queda por señalar que esas líneas crean dentro del triángulo grande un triángulo pequeño que es similar al grande pero con todas las longitudes 1/2 del grande, por lo que este pequeño triángulo tiene un área de exactamente 1/4 del original.