Dejemos que $K$ sea un complejo simplicial en $\mathbb{R}^n$ y $|K|$ su poliedro (unión de todos los símiles dotados de topología subespacial). Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) $|K|$ es un camino conectado.
(ii) $|K|$ está conectado.
(iii) Para cualquier $\sigma,\tau \in K$ existe una familia $\sigma = \eta_1,\eta_2,\dots,\eta_p = \tau$ de los símbolos en $K$ con $\eta_k \cap \eta_{k + 1} \neq \emptyset$ para cualquier $k = 1,\dots,p-1$ .
Por lo tanto, (i) implica (ii) trivialmente, ya que todo espacio conectado por un camino es conectado. Además, suponiendo (iii) se pueden construir trayectorias desde cualquier punto $p$ a $q$ en $|K|$ . Por lo tanto (iii) implica (i). Ahora queda por demostrar que (ii) implica (iii). Sin embargo, por el momento no lo veo del todo claro. Pensé que tal vez podría trabajar con la conectividad local del camino o algo así. ¿Alguien tiene una pista para mí o tendría más sentido en lugar de mostrar (i) implica (ii) implica (iii) implica (i) para mostrar que (i) y (ii) son equivalentes y (iii) y (i) son equivalentes?
