Topología algebraica, etc. para Mac Lane ' s "Categorías para el matemático de trabajo"

Question

[NOTA: Por razones que espero que la siguiente pregunta va a hacer claro, estoy interesado sólo en las respuestas de aquellos que han leído Mac Lane Categorías para el trabajo matemático [CWM], o al menos tener un sólido conocimiento de la mínima formación matemática de que un posible lector debería tener en el fin de beneficiarse de su exposición.]

Me gustaría leer Mac Lane CWM pero estoy frustrado por el hecho de que muchos (si no la mayoría) de Mac Lane ejemplos provienen de las áreas de matemáticas I saben poco o nada acerca de. (Yo no puedo tomar ningún sentido de la categoría de la teoría de la escritura sin la ayuda de abundantes ejemplos, para saltar de Mac Lane tendría sentido para mí.)

Por ejemplo, la topología algebraica y álgebra homológica parecen estar en gran medida favorecida por Mac Lane como fuente de ejemplos ilustrativos. Yo podría adoptar la estrategia de la simple lectura de estándar y de larga duración en los libros de texto sobre estos temas (de los cuales ciertamente no hay escasez para elegir), pero esto me llevaría muchos meses, lo que es más de lo que me quiero dedicar a tales preparatorio de la lectura, además, sospecho que puede ser un exceso de todos modos.

_{(Debo aclarar que, cuando se trata de temas matemáticos que estoy completamente desconocido para mí, acabo de tener a leer los libros desde el principio. IOW, simplemente no me puedo tomar la táctica de consultoría de uno de esos libros (o Wikipedia, etc.) como referencia cada vez que me encontré con algunos desconocidos ejemplo en CWM, y de forma selectiva buscando lo que yo no entiendo. A lo mejor, tal selectivos de la excursión iba a llenar de mí en algunas definiciones, pero es casi seguro que no hace el ejemplo más útil como una ilustración de un concepto abstracto de lo que era antes. Me parece ejemplos útiles sólo cuando tengo algo de familiaridad con el ejemplo del "estudio de caso".)}

Mi única esperanza es encontrar una introducción a esos temas que no sólo son breves, pero también (y esto es crucial) que se centran en las áreas de sus súbditos de que Mac Lane dibuja sus ejemplos. (La razón por la que el último requisito es mi haber encontrado que el poco de topología algebraica, que yo sepa, que me enteré hace varios años de una introducción de tratamiento por Henle, es de poca ayuda cuando me confrontar Mac Lane algebraica topología ejemplos basados en CWM, lo cual me sugiere que el enfoque de Henle la intro no está especialmente bien alineados con Mac Lane punto de vista.)

EDIT: me siento cómodo con los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, general de la teoría de grupos (más vacilante comprensión de los anillos, monoids, abelian grupos), general/punto-conjunto de topología (primera 2/3 de Munkres libro), análisis real (más vacilante con el análisis complejo y teoría de la medida), álgebra lineal y lineal/espacios vectoriales, posets.

Gracias!

Answer 1

Todos condescendencia a un lado, mi primer pensamiento fue que, de hecho, la categoría de la teoría es una increíblemente útil de la herramienta y el lenguaje. Como tal, muchos de nosotros queremos leer CWM para que podamos comprender varias construcciones en otros campos (por ejemplo, la conexión entre monadicity y descenso, o la redacción de diversos homotopy la teoría de las ideas como coends, por no mencionar solo lo básico de pullbacks, pushforwards, colimits, y así sucesivamente). Así es en el hecho relevante por QUÉ usted desea leer.

Como estudiante de pregrado, empecé a leer CWM, con un mínimo de éxito. La idea principal de la que, como usted dice, yo tenía muy pocos ejemplos. Pensé que la idea de un grupo como una categoría con un solo elemento fue bastante claro, pero yo realmente no podía entender adjunctions, sobre(bajo)-categorías, colimits o algunos de los otros bienes de la carne de la categoría de la teoría en cualquier profundidad, de manera significativa, hasta que empecé a tener algunos ejemplos para aplicar.

En mi opinión, no es fructífera para leer CWM hacia arriba. Es como beber directamente de licor. Usted puede conseguir realmente estucada (o en esta analogía, entusiasmados con todo lo esotérico en busca de notación y palabras como mónada, dinatural transformación, 2-categoría), pero al día siguiente te das cuenta de que en realidad no se logra nada.

¿Cuál es la prisa? No leo el CWM. Leer Hatcher Topología Algebraica, leer Dummit y Foote, leer lo que el estándar son los textos en la geometría diferencial, o la mentira de los grupos, o algo así. A continuación, verá que la categoría de la teoría es un precioso generalización de todas las niza ejemplos que hemos llegado a conocer y amar, y usted puede construir sobre eso.

Answer 2

Empecé a leer CWM con pocos conocimientos acerca de la topología algebraica y álgebra homológica. Usted realmente no tiene que saber mucho acerca de estos campos para beneficio de CWM. Acabo de leer las definiciones básicas (grupo fundamental de un espacio, la homología de un complejo de cadena) y va a ser suficiente. Por supuesto, usted se beneficiará aún más cuando se tiene ya algunos antecedentes en las áreas donde la categoría de teoría se ha convertido en uno de los principales punto de esquina, pero usted también puede aprender tanto simultanously.

Después de todo, usted también tiene que preguntarse: ¿por Qué quiero aprender categoría de teoría? Cualquier respuesta en claro cuál es el libro que tienes que leer primero.

Answer 3

Salvo algunos conocimientos sobre ordinario topología usted no necesita saber mucho topología algebraica o álgebra homológica con el fin de seguir (los ejemplos) el CWM libro. De hecho, yo no creo que él está sesgada hacia estos campos en su tratamiento. La mayoría de los ejemplos son de álgebra, así que uno debe tener alguna experiencia con grupos, anillos y módulos.

Por otra parte, cada vez que él se refiere a tales ejemplos, en realidad, él explica lo suficiente de el área correspondiente, de manera que el lector puede seguir el ejemplo; por ejemplo en la p. 20 él introduce homotopy y la fundamental groupoid, la homología de los complejos se introdujo en el capítulo VIII (abelian categorías), capítulo VII (monoids) incluye secciones sobre la simplicial categoría compacta generado los espacios, y los bucles y las suspensiones. También da las referencias a la literatura, así que estas referencias podrían ser un buen punto de partida si quieres ir más profundo en los sujetos tocado; pero mi punto es, que no es necesario leer antes de iniciar en CWM.

También he encontrado que es muy útil tener un buen conocimiento acerca de los conceptos básicos de orden y celosías, ya que estos proporcionan importantes especial para muchos casos categórica conceptos.

Answer 4

Los ejemplos en CWM son en su mayoría de topología algebraica o algebraico. Me concentraré en álgebra en mi respuesta. Aconsejaría a leer "Un examen de álgebra moderna" por Birkhoff y carril de Mac sí mismo. En este libro también hay un capítulo sobre la teoría de la categoría "por el matemático del estudiante", por lo que el nivel es más fácil y se basa en ejemplos tomados del libro. Después de eso podrá seguir tal vez el 80% de los ejemplos de CWM, el 20% restante son ejemplos en topología algebraica.

Answer 5

Empecé a leer el CWM como estaba tomando mi primera introducción a la clase de topología general. Es suficiente sólo saber un poco más sobre módulos y álgebra general---construcciones libres, (co-) límite de un sistema de anillos o módulos, la adjunción de tensor-Hom, etc.. Todo lo que necesitas saber acerca de homología/homotopía es que es un functor $\mathrm{Top}\to\mathrm{Grp}$.