¿Cómo se demuestra si lo dado es un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ ?

Question

Estoy atascado en un problema de HW para mi clase de Álgebra Lineal.

El problema es el siguiente:

Si el conjunto es un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ , escriba verdadero y explique por qué se cumplen cada una de las diez propiedades siguientes. Si el conjunto no es un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ , escriba falso e identificar todas las propiedades I-X que no se cumplen.

(a) $\{(x, y) \mathbb R^2 \:|\: 3x + 2y = 0 \}$ en $\mathbb R$ con las definiciones habituales de suma de vectores y multiplicación escalar en $\mathbb R^2$

Ahora, sé que el Espacio Vectorial sobre $\mathbb R$ es. Entiendo la pregunta. Hay 10 condiciones que debo probar para demostrar que lo dado es un Espacio Vectorial sobre $\mathbb R$ .

No sé por dónde empezar. Entiendo que si por cada $x,y$ en $V$ , si $x+y$ existe en $V$ entonces se cumple una de las diez condiciones. ¿Cómo puedo abordar esto con $3x + 2y = 0$ ?

Una pregunta mejor es qué significa la afirmación $\{(x, y) \mathbb R^2 \:|\: 3x + 2y = 0 \}$ significa. Entiendo que es todo el $x$ y $y$ que satisfacen $3x + 2y = 0$ pero, ¿se supone que debo romper el $\mathbb R$ ¿en todas las combinaciones posibles? Por ejemplo, $x = -2$ y $y = 3$ satisface la función, pero $x = 1$ , $y = 1$ no lo hace. Así que ciertamente no puedo decir que para cada $x,y$ en $V$ , $3x + 2y$ está en $V$ .

No sé por dónde empezar a probar. Si pudiera empezar por algún sitio, sería capaz de manejar bien estos problemas, ya que tengo conocimientos generales de qué hacer, sólo que no cómo para empezar.

Gracias

Editar 1: Actualizado la pregunta para que sea fácil de entender lo que está pidiendo.

Answer 1

Consideremos un elemento de este conjunto, el elemento satisface dos condiciones. La primera es que debe ser un elemento de $\mathbb{R}^2$ y la segunda es que las componentes de este vector deben satisfacer $$ ax + by = 0 $$ Sin embargo, estas dos condiciones pueden reformularse en algo más claro. Si tuviéramos que resolver $y$ Por lo que la segunda componente del vector, a partir de la ecuación anterior encontraríamos que $$y = - \frac{a}{b}x$$ Por lo tanto, la primera condición que establecimos, es decir, que el elemento debe estar en $\mathbb{R}^2$ es demasiado amplia, ya que existe una condición fija para lo que puede ser la segunda componente del vector. A partir de estas observaciones podemos demostrar la siguiente igualdad $$ \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : ax + by = 0\} = \{ (x, -\frac{a}{b}x) : x \in \mathbb{R}\}$$ Como puede verse, la segunda componente del vector está ligada a la primera por la relación que hemos derivado anteriormente. ¡Ahora los axiomas que nos interesa mostrar son considerablemente más fáciles!

Usando la definición anterior del conjunto demostraré que el conjunto es cerrado bajo adición. Consideremos dos elementos cualesquiera de este conjunto. El elemento será de la forma $$ (v, - \frac{3}{2}v), \ (t, - \frac{3}{2}t)$$ para un número arbitrario de $v,t \in \mathbb{R}$ . Consideremos ahora la suma de estos dos elementos $$ (v, - \frac{3}{2}v) + (t, - \frac{3}{2}t) = (v + t, -\frac{3}{2}(v + t))$$ Bueno $v + t \in \mathbb{R}$ por lo que si denotamos $u = v + t$ entonces la suma de estos dos vectores nos da un vector $$ (u, - \frac{3}{2}u)$$ y si te fijas en la definición del conjunto anterior, ¡este elemento debe pertenecer al conjunto!

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Una pista:

Puede escribir su conjunto como la familia de vectores $$(t,-1.5t),\, t\in\Bbb R$$ ¿Qué puede decir al respecto?