¿Cuáles son las conjeturas locales de Langlands en la actualidad, para grupos reductores conectados sobre un $p$ -¿campo de la adicción?

Question

Permítanme subrayar que estoy sólo interesado en $p$ -ádicos en esta pregunta, por razones que se aclararán más adelante. Permítanme también subrayar que, en cierto sentido, estoy asumiendo básicamente que el lector sabe lo que es la "versión de los años 70 de las conjeturas locales de Langlands" al escribir esta pregunta -hay muchas referencias que nos llevarán hasta aquí (más adelante doy una que funciona en la generalidad que me interesa).

Así que dejemos $F$ sea una extensión finita de $\mathbf{Q}_p$ , dejemos que $G$ sea un grupo reductor conexo sobre $F$ , dejemos que $\widehat{G}$ denotan el grupo dual complejo de $G$ (un grupo de Lie complejo conectado) y dejemos que ${}^LG$ denotan el $L$ -grupo de $G$ el producto semidirecto del grupo dual y el grupo de Weil de $F$ (formado por un cierre algebraico fijo $\overline{F}$ de $F$ ).

Esta es la forma "estándar", o posiblemente "estándar en los años 70", de formular lo que debería decir Langlands local (para más detalles, véase el artículo de Borel "Automorphic $L$ -funciones", disponible en línea (gracias AMS) aquí en el sitio web de la AMS . Se definen conjuntos $\Phi(G)$ ( $\widehat{G}$ -clases de conjugación de representaciones admisibles de Weil-Deligne del grupo Weil-Deligne al $L$ -grupo [observando que "admisible" incluye afirmaciones sobre imágenes que sólo aterrizan en las llamadas "parabólicas relevantes" en el caso general y es una noción bastante sutil]) y $\Pi(G)$ (clases de isomorfismo de representaciones admisibles irreducibles suaves de $G(F)$ ), y uno conjetura:

CONJUNTO DE LENGUAS LOCALES (forma ingenua): Existe una suryección canónica $\Pi(G)\to\Phi(G)$ con fibras finitas, que satisfacen (insertar aquí la lista de propiedades).

Véase la sección 10 del artículo de Borel para las propiedades requeridas del mapa.

Ahora bien, en las últimas semanas he tenido dos conversaciones con gente de tipo geométrico de Langlands, ambos se han burlado de mí cuando he sugerido que así debería ser la conjetura local de Langlands. Señalan que estudiar algún conjunto de representaciones hasta el isomorfismo es una idea muy "burda" hoy en día, y que uno debería reformular las cosas categóricamente, considerando las categorías tannakianas de representaciones, y relacionándolas con... ah, bueno, ahí está la trampa. Al revisar lo que ambos dijeron, en un momento crucial deslizaron la frase "bueno, ahora para simplificar supongamos que estamos en el campo de funciones/el entorno geométrico. Ahora..." y se fueron con sus perversas gavillas. El resultado feliz de todo esto es que ahora uno tiene una formulación mucho mejor de Langlands local, porque uno puede exigir mucho más que una suryección canónica con fibras finitas, uno puede preguntar si dos categorías son equivalentes.

Pero me han engañado aquí, porque me interesa $p$ -campos de la vida cotidiana. Así que sí, sí, estoy seguro de que todo es maravilloso en el entorno de los campos de funciones/geométricos, y las cosas se han generalizado más allá de todo reconocimiento. Mi pregunta es simplemente:

P) ¿Podemos hacer algo mejor que la forma ingenua de Langlands local (es decir, hay una declaración más fuerte sobre dos categorías que son equivalentes) quand $F$ es un campo p-ádico ?

La respuesta parece ser "sí" en otros casos, pero no tengo claro si la respuesta es afirmativa en el $p$ -caso de la enfermedad. Incluso si alguien fuera capaz de explicar alguna generalización en el caso en que $G$ está dividido, estoy seguro de que aprendería mucho. Para ser honesto, creo que aprendería mucho si alguien pudiera explicar cómo convertir la suryección en un tipo de objeto más biyectivo incluso en el caso de $SL(2)$ . ¡Incluso en el caso no ramificado! ¡Así de atrasado estoy! Por lo que veo, el isomorfismo de Satake sólo da una suryección en general, porque hay más de una clase de equivalencia de máximos compactos hiperespaciales en general.

Answer 1

Seguramente cualquier cosa parecida a una equivalencia categórica que parece estar buscando implicaría (¿incluso para tener una afirmación?) una comprensión de las fibras finitas del mapa que usted llama el Langlands local ingenuo. Por lo que sé, incluso esto es un problema difícil: para las representaciones generadas por un vector fijo de Iwahori (la categoría estudiada por Borel) esto fue resuelto por Lusztig: en su trabajo con Kazhdan sobre álgebras afines de Hecke muestran que los "paquetes L" están dados por representaciones de un cierto grupo de componentes que surgen geométricamente.

Más recientemente, DeBacker y Reeder han dado una descripción explícita de los paquetes L para representaciones supercóspidas de "profundidad cero". Una de las propiedades clave que demuestran que tienen estos paquetes L es una especie de "estabilidad", que me parece que se relaciona con que la representación proviene de algo "geométrico" (tal vez debería decir "motivacional" - hay algunas cosas interesantes sobre la naturaleza motivacional de los caracteres por Hales y Gordon ).

También me gustaría comparar con el ejemplo de juguete habitual de los grupos finitos de tipo Lie: allí las representaciones (sobre $\mathbb C$ ) son clasificadas por Lusztig, y se puede describir la clasificación en términos de datos sobre el grupo dual, que puede interpretarse en gran medida sobre el grupo complejo. La noción de estabilidad vuelve a surgir cuando se estudia el cambio de base: al tratar de igualar representaciones de $G(F_q)$ con ciertas representaciones de $G(F_{q^n})$ . En general, esto sólo puede hacerse si se empaquetan las representaciones en cosas como las que podrían llamarse paquetes L (que se entienden explícitamente). El proceso de hacerlo coincide con el proceso de entender cómo la categoría de representaciones de los grupos $G(F_q)$ compararlo con la categoría de gavillas de caracteres sobre el grupo (la categoría "geométrica"). Sin embargo, incluso en este caso de juguete no conozco una forma categórica agradable de decir cómo se relacionan las dos.

Answer 2

He aquí una observación sobre el isomorfismo de Satake, aunque no creo que sea lo que buscas: Supongamos que $G$ es un grupo reductor dividido sobre $\mathbb{Z}$ entonces una formulación de Satake es un isomorfismo

$H(G(\mathbb{Q}_p),G(\mathbb{Z}_p)) \rightarrow \mathbb{C}\otimes K(Rep(\hat{G}))$

donde $H(G(\mathbb{Q}_p),G(\mathbb{Z}_p))$ es el álgebra de Hecke con respecto al compacto máximo $G(\mathbb{Z}_p)$ y $K(Rep(\hat{G}))$ es el anillo de Grothendieck de la categoría de repeticiones de dimensión finita del grupo dual de Langlands $\hat{G}$ (un grupo reductor sobre $\mathbb{C}$ ).

Pero ahora escribe $K$ para $\mathbb{F}_p((T))$ , $A$ para $\mathbb{F}_p[[T]]$ . También tenemos un isomorfismo de Satake para el álgebra de Hecke $H(G(K),G(A))$ con exactamente el mismo objetivo que nuestro isomorfismo anterior. Así que el isomorfismo de Satake no parece ver ninguna diferencia entre los campos p-ádicos y los campos de funciones, y de hecho uno puede ver el isomorfismo categorizado de Satake de, digamos, Mirkovic-Vilonen como diciendo algo para el caso del campo p-ádico también.

Answer 3

Esto no es una respuesta sino una pregunta de seguimiento. En el caso p-ádico, ¿hay alguna esperanza de un conjunto de condiciones sobre la correspondencia local de Langlands que la haga única? En el caso de $GL(n)$ esto lo proporcionan los factores L y épsilon. Para los grupos clásicos, ¿se puede hacer una afirmación precisa (incluso conjetural) para los grupos clásicos, utilizando el levantamiento a $GL(n)$ ?