¿Cuáles son las conjeturas locales de Langlands en la actualidad, para grupos reductores conectados sobre un $p$ -¿campo de la adicción?

Question

Permítanme subrayar que estoy sólo interesado en $p$ -ádicos en esta pregunta, por razones que se aclararán más adelante. Permítanme también subrayar que, en cierto sentido, estoy asumiendo básicamente que el lector sabe lo que es la "versión de los años 70 de las conjeturas locales de Langlands" al escribir esta pregunta -hay muchas referencias que nos llevarán hasta aquí (más adelante doy una que funciona en la generalidad que me interesa).

Así que dejemos $F$ sea una extensión finita de $\mathbf{Q}_p$ , dejemos que $G$ sea un grupo reductor conexo sobre $F$ , dejemos que $\widehat{G}$ denotan el grupo dual complejo de $G$ (un grupo de Lie complejo conectado) y dejemos que ${}^LG$ denotan el $L$ -grupo de $G$ el producto semidirecto del grupo dual y el grupo de Weil de $F$ (formado por un cierre algebraico fijo $\overline{F}$ de $F$ ).

Esta es la forma "estándar", o posiblemente "estándar en los años 70", de formular lo que debería decir Langlands local (para más detalles, véase el artículo de Borel "Automorphic $L$ -funciones", disponible en línea (gracias AMS) aquí en el sitio web de la AMS . Se definen conjuntos $\Phi(G)$ ( $\widehat{G}$ -clases de conjugación de representaciones admisibles de Weil-Deligne del grupo Weil-Deligne al $L$ -grupo [observando que "admisible" incluye afirmaciones sobre imágenes que sólo aterrizan en las llamadas "parabólicas relevantes" en el caso general y es una noción bastante sutil]) y $\Pi(G)$ (clases de isomorfismo de representaciones admisibles irreducibles suaves de $G(F)$ ), y uno conjetura:

CONJUNTO DE LENGUAS LOCALES (forma ingenua): Existe una suryección canónica $\Pi(G)\to\Phi(G)$ con fibras finitas, que satisfacen (insertar aquí la lista de propiedades).

Véase la sección 10 del artículo de Borel para las propiedades requeridas del mapa.

Ahora bien, en las últimas semanas he tenido dos conversaciones con gente de tipo geométrico de Langlands, ambos se han burlado de mí cuando he sugerido que así debería ser la conjetura local de Langlands. Señalan que estudiar algún conjunto de representaciones hasta el isomorfismo es una idea muy "burda" hoy en día, y que uno debería reformular las cosas categóricamente, considerando las categorías tannakianas de representaciones, y relacionándolas con... ah, bueno, ahí está la trampa. Al revisar lo que ambos dijeron, en un momento crucial deslizaron la frase "bueno, ahora para simplificar supongamos que estamos en el campo de funciones/el entorno geométrico. Ahora..." y se fueron con sus perversas gavillas. El resultado feliz de todo esto es que ahora uno tiene una formulación mucho mejor de Langlands local, porque uno puede exigir mucho más que una suryección canónica con fibras finitas, uno puede preguntar si dos categorías son equivalentes.

Pero me han engañado aquí, porque me interesa $p$ -campos de la vida cotidiana. Así que sí, sí, estoy seguro de que todo es maravilloso en el entorno de los campos de funciones/geométricos, y las cosas se han generalizado más allá de todo reconocimiento. Mi pregunta es simplemente:

P) ¿Podemos hacer algo mejor que la forma ingenua de Langlands local (es decir, hay una declaración más fuerte sobre dos categorías que son equivalentes) quand $F$ es un campo p-ádico ?

La respuesta parece ser "sí" en otros casos, pero no tengo claro si la respuesta es afirmativa en el $p$ -caso de la enfermedad. Incluso si alguien fuera capaz de explicar alguna generalización en el caso en que $G$ está dividido, estoy seguro de que aprendería mucho. Para ser honesto, creo que aprendería mucho si alguien pudiera explicar cómo convertir la suryección en un tipo de objeto más biyectivo incluso en el caso de $SL(2)$ . ¡Incluso en el caso no ramificado! ¡Así de atrasado estoy! Por lo que veo, el isomorfismo de Satake sólo da una suryección en general, porque hay más de una clase de equivalencia de máximos compactos hiperespaciales en general.

Answer 1

Ahora que nuestro papel Geometrización de la correspondencia local de Langlands con Fargues ha salido por fin (¡ooufff!), puede valer la pena dar una actualización a la respuesta de Ben-Zvi de arriba. En resumen: damos una formulación de Langlands local sobre un $p$ -campo de la adicción $F$ para que finalmente sea

1. una conjetura real, en el sentido de que pide propiedades de una determinada construcción, no para una construcción ;
2. de una forma como en los Langlands geométricos, en particular sobre un equivalencia de categorías y no una simple biyección de irreducibles.

En primer lugar, debo decir que en la notación del PO, construimos un mapa canónico $\Pi(G)\to \Phi(G)$ y demostrar algunas propiedades de la misma. Sin embargo, aún no podemos decir nada sobre sus fibras (ni siquiera la finitud).

Además, damos una formulación de Langlands local como una equivalencia de categorías, y (esencialmente) construimos un functor en una dirección que se espera que realice la equivalencia. En particular, esto fija lo que debe ser la correspondencia local de Langlands, "sólo" queda establecer todas las propiedades deseadas de la misma.

Permítanme exponer brevemente el resultado principal. Sea $\mathrm{Bun}_G$ sea la pila de $G$ -en la curva de Fargues--Fontaine. Definimos un ( $\infty$ -)categoría $\mathcal D(\mathrm{Bun}_G,\overline{\mathbb Q}_\ell)$ de $\ell$ -adicas en $\mathrm{Bun}_G$ . La pila $\mathrm{Bun}_G$ se estratifica en un número contable de estratos enumerados por $b\in B(G)$ y en cada estrato, la categoría $\mathcal D(\mathrm{Bun}_G^b,\overline{\mathbb Q}_\ell)$ es el derivado ( $\infty$ -)categoría de representaciones lisas del grupo $G_b(F)$ . En particular, para $b=1$ se obtienen representaciones suaves de $G(F)$ .

Además, hay una pila de Artin $Z^1(W_F,\hat{G})/\hat{G}$ de $L$ -parámetros sobre $\overline{\mathbb Q}_\ell$ .

Nuestro principal resultado es la construcción de la "acción espectral":

Existe una acción canónica del $\infty$ -de complejos perfectos en $Z^1(W_F,\hat{G})/\hat{G}$ en $\mathcal D(\mathrm{Bun}_G,\overline{\mathbb Q}_\ell)$ .

La principal conjetura es básicamente que esto hace que $\mathcal D(\mathrm{Bun}_G,\overline{\mathbb Q}_\ell)^\omega$ un "módulo libre de rango $1$ en $\mathrm{Perf}(Z^1(W_F,\hat{G})/\hat{G})$ ", al menos si $G$ es cuasi-partido (o más generalmente, tiene centro conectado).

Más concretamente, supongamos que $G$ es quasiplural y fija un Borel $B\subset G$ y un personaje genérico $\psi$ de $U(F)$ , donde $U\subset B$ es el radical unipotente, dando la representación de Whittaker $c\text-\mathrm{Ind}_{U(F)}^{G(F)}\psi$ por lo que es una gavilla en $[\ast/G(F)]$ que es la subcaja abierta de $\mathrm{Bun}_G$ de la fibra geométrica trivial $G$ -fajos; ampliando por $0$ por lo que se obtiene una gavilla $\mathcal W_\psi\in \mathcal D(\mathrm{Bun}_G,\overline{\mathbb Q}_\ell)$ llamada la gavilla de Whittaker.

Conjetura. El functor $$ \mathrm{Perf}(Z^1(W_F,\hat{G})/\hat{G})\to \mathcal D(\mathrm{Bun}_G,\overline{\mathbb Q}_\ell)$$ dado al actuar sobre $\mathcal W_\psi$ es totalmente fiel, y se extiende a una equivalencia $$\mathcal D^{b,\mathrm{qc}}_{\mathrm{coh}}(Z^1(W_F,\hat{G})/\hat{G})\cong \mathcal D(\mathrm{Bun}_G,\overline{\mathbb Q}_\ell)^{\omega}.$$

Aquí el superíndice $\mathrm{qc}$ significa soporte cuasicompacto, y $\omega$ significa objetos compactos. Como $Z^1(W_F,\hat{G})$ no es suave (simplemente una intersección completa local), hay una diferencia entre los complejos perfectos y $\mathcal D^b_{\mathrm{coh}}$ y todavía hay una pequeña ambigüedad sobre cómo extender de los complejos perfectos a todos los complejos de gavillas coherentes. Genéricamente sobre la pila de $L$ -parámetros, no hay sin embargo ninguna diferencia.

Hay que desentrañar un poco para ver cómo esto implica formas más clásicas de la correspondencia, como la esperada parametrización interna de $L$ -paquetes; en el caso de la elíptica $L$ -parámetros, todo está muy limpio, véase la sección X.2 de nuestro documento.

(Existen conjeturas y resultados relacionados de Ben-Zvi--Chen--Helm--Nadler , Hellmann y Zhu ; véase también el trabajo de Genestier--Lafforgue en el caso del campo de funciones. Y este trabajo está fuertemente inspirado en trabajos anteriores de Langlands geométrico, en particular las conjeturas de Arinkin--Gaitsgory y el trabajo de Nadler--Yun y Gaitsgory--Kazhdan--Rozenblyum--Varshavsky sobre las acciones espectrales).

P.D.: Quizá valga la pena señalar que esta conjetura es, al menos a priori, de naturaleza bastante diferente a la conjetura de Vogan, mencionada en las otras respuestas, que se basa en gavillas perversas sobre la pila de $L$ -parámetros; aquí, utilizamos gavillas coherentes.

Answer 2

Vuelvo a la pregunta original. Primero, el título: "¿Cuáles son las conjeturas locales de Langlands en la actualidad, para grupos reductores conectados sobre un campo p-ádico?" Creo que están no están lejos de ser demostradas para los grupos clásicos. En primer lugar, como bien sabes, están demostradas para $GL_n$ sobre un $p$ -campo de la adicción. Entonces, los grupos clásicos (cuasi divididos) pueden ser vistos como grupos endoscópicos retorcidos de algunos grupos lineales, es decir su $L$ -tiene una representación natural en algún $GL_n (\mathbb{C})$ para algunos $n$ que le permite identificar a su grupo con un grupo endoscópico retorcido de $GL_n$ . Ahora, gracias a los próximos trabajos de Arthur (junto con la reciente demostración del lema fundamental ponderado retorcido) se podrá demostrar la conjetura de transferencia de Langlands (una afirmación global sobre campos numéricos) para la endoscopia retorcida (y no retorcida). Usando esto, junto con algunos argumentos de globalización uno será capaz de definir la transferencia local (asociada a su incrustación natural $\;^L G \hookrightarrow GL_n (\mathbb{C})$ ) de su grupo clásico $G$ hacia $GL_n$ . Entonces puedes definir L-paquetes como las fibras de este mapa de transferencia... bueno todo lo que estoy diciendo es vago pero me parece que una gran parte de este programa se lleva a cabo en este artículo

http://people.math.jussieu.fr/~moeglin/paquetgeneral.pdf

Ahora, para la pregunta "P) ¿Podemos hacer algo mejor que la forma ingenua de Langlands Local (es decir, hay una afirmación más fuerte sobre dos categorías que son equivalentes) cuando F es un campo p-ádico?" la respuesta es no hasta ahora. En primer lugar, permítanme hacer un comentario sobre el caso real/p-ádico. Hay una gran diferencia entre el caso de los grupos de Lie reales y el de los campos p-ádicos: no hay supercúspides para los grupos reales. Los "bloques más pequeños" de la clasificación que puedes identificar son series discretas. En el caso p-ádico tienes unas "partículas elementales más pequeñas" que son representaciones supercuspidales. La clasificación de supercúspides es realmente de naturaleza aritmética y no veo ninguna esperanza para una clasificación geométrica de tipo Langlands de supercúspides. Todo lo que se ha hecho en Langlands geométrico hasta donde yo sé es mirar objetos como grassmanianos afines como $GL_n (k((\pi))/GL_n (k[[\pi]])$ o $GL_n(k((\pi))/I$ con $I$ un subgrupo Iwahori de este, nada con más "profundidad". Hay una cosa geométrica que se puede hacer, como se ha explicado antes: se puede retrotraer la teoría de Lusztig del caso de campo finito a la profundidad $0$ -parte de la teoría de la representación de un grupo p-ádico, pero en mayor profundidad no hay nada.

Tal vez debería decir esto también: suponiendo que se han clasificado las supercúspides, una tarea aritmética, se puede hacer algo geométrico que es lo siguiente para $GL_n$ sobre un $p$ -campo de la adicción $F$ . Tienes tu descomposición del centro de Bernstein de la categoría de representaciones de $GL_n (F)$ , cada una está unida a un tipo en el sentido de Bushnell-Kutzko y han calculado el álgebra de Hecke de esos tipos: todas ellas son álgebras de Iwahori-Hecke. Por lo tanto, si se han clasificado todos los supercúspides, la teoría de la representación de $GL_n (F)$ se remonta a la teoría de la representación de las álgebras de Iwahori-Hecke y aquí tienes toda la maquinaria geométrica disponible para trabajar con esa categoría de representaciones (y puedes demostrar teoremas sobre representaciones inducidas de $GL_n(F)$ utilizando este enfoque, en particular utilizando la conjetura Kazhdan-Lusztig).

Una última observación quizá: dejemos que $\pi$ sea una representación supercóspida de $GL_n(F)$ y $\sigma(\pi)$ su representación irreducible asociada de $W_F$ . Supongamos que $\pi$ es autodual, entonces $\pi$ es siempre de tipo ortogonal (esto se deduce del hecho de que $\pi$ tiene un modelo Kirillov y, por tanto, un $1$ -subespacio invariante bajo un subgrupo abierto compacto). Pero $\sigma (\pi)$ puede no ser ortogonal, puede ser simpléctico: hay una conjetura de Prasad Ramakrishnan que probé que te dice $\sigma(\pi)$ es ortogonal si $n$ es impar. Así, $\pi\mapsto \sigma (\pi)$ no es ciertamente functorial... La conjetura es, de hecho, más general e implica representaciones cuadradas integrables, en algún sentido hay algo "functorial" que es lo siguiente: toma $D$ un álgebra de división con invariante $1/n$ en $F$ , entonces para $\rho$ una representación irreducible de $D^\times$ , $$ \rho\otimes JL(\rho)\otimes \sigma_\ell (JL(\rho)) $$ es "canónico" ( $\sigma_\ell$ es el $\ell$ -adictos locales de Langlands). Si hay algo categórico que buscar, se esconde detrás de esto... pero todavía lo estoy buscando.

Answer 3

Una breve actualización: en su increíble charla de ayer en el MSRI (disponible aquí ), Laurent Fargues explicó (basándose en el trabajo de Peter Scholze, véase su fenomenal charla de hace dos semanas aquí y sus históricas conferencias en Berkeley aquí ) una imagen conjetural para la correspondencia local de Langlands como una correspondencia geométrica de Langlands sobre la "curva de Fargues-Fontaine".

[Caveat Emptor: esto está muy lejos de mi alcance y espero que sirva de acicate para que alguien con conocimientos lo comente]. La "curva" es un espacio adic, y de hecho representa un "diamante" como se desarrolló en las conferencias de Scholze en Berkeley. Es decir, un functor sobre anillos perfectoides en característica p con algunas buenas propiedades de representabilidad. La curva está estrechamente relacionada con el diamante unido a $\mathbb{Q}_p$ sí mismo - el functor que adjunta a un anillo perfectoide el conjunto de sus hastatos a la característica cero.

En cualquier caso, Fargues define la pila $\mathrm{Bun_G}$ de la curva, que se parece mucho a $\mathrm{Bun_G}$ de $\mathbb{P}^1$ --- es decir, tiene una estratificación (Harder-Narasimhan) donde las piezas son espacios clasificadores de grupos, y corresponden a clases de isomorfismo de los isocristales G de Kottwitz (clases de conjugación de Frobenius-twisted en el grupo p-ádico). Por otra parte, los sistemas locales para el grupo dual en la curva son precisamente parámetros de Langlands. La conjetura es un functor de estos sistemas locales a gavillas perversas sobre $\mathrm{Bun_G}$ que son eigensheaves de Hecke --- esta noción tiene sentido gracias a la nueva versión de Scholze del Grassmanniano afín [Beilinson-Drinfeld] sobre $\mathbb{Q}_p$ . El functor debe satisfacer otros análogos naturales de las compatibilidades del programa geométrico de Langlands. Fargues termina la charla con varias implicaciones de la conjetura, así como la afirmación de que funciona en el caso abeliano - es decir, uno debe tener una construcción puramente geométrica de la teoría de campo de clase local.

Edición: Es importante tener en cuenta que las gavillas perversas en $\mathrm{Bun_G}$ de la curva de Fargues-Fontaine están estrechamente relacionadas con representaciones de grupos p-ádicos. En concreto, el lugar semiestable de $\mathrm{Bun_G}$ (si he entendido bien) es (muy aproximadamente) una unión de espacios clasificatorios de grupos, que son formas internas puras de nuestro grupo $\mathrm{G}$ sobre nuestro campo p-ádico. Por lo tanto, restringiendo las láminas perversas a estas subpilas obtenemos un functor a representaciones. A la inversa, podríamos soñar con extender las láminas sobre estas subpilas a las láminas de Hecke sobre todas las $\mathrm{Bun_G}$ y, por lo tanto, adjuntando a ellos los parámetros de Langlands. (Esto podría ser completamente erróneo -- pero estructuras análogas aparecen de hecho en el caso de grupos reales).

Answer 4

En primer lugar, me gustaría secundar la referencia dada por JT: David Vogan, "The local Langlands conjecture", que aparece en Representation Theory of Groups and Algebras (J. Adams et al., eds. Contemporary Mathematics 145. American Mathematical Society, 1993. Se puede encontrar en Página web de Vogan

El artículo de Vogan contiene una muy buena exposición de las conjeturas locales de Langlands, y las conjeturas locales de Arthur, y las propias reformulaciones de Vogan que me gustan. En la conjetura 1.9, Vogan expone la conjetura local de Langlands, tal y como la ha expuesto la OP. Luego, en la conjetura 1.12, Vogan da un refinamiento que describe los paquetes L, en el lenguaje de las láminas perversas (que puede gustar o no a la OP). Adams, Barbasch y Vogan demostraron este refinamiento para grupos reductores reales, y el artículo de Vogan está ciertamente influenciado por ello.

Más tarde, en la conjetura 4.3, Vogan da una versión más detallada de las conjeturas originales de Langlands. En la conjetura 4.15, Vogan da un refinamiento, que parece equivalente a algunas conjeturas de Arthur, aunque no estoy seguro. Esto se aplica a la mayoría de los casos de interés.

En concreto, en lo que respecta a $SL_2$ sobre un $p$ -campo de la adicción, uno debe - además de una representación de Weil-Deligne $\phi$ en $PGL_2(C)$ -- dan una representación irreducible del grupo componente del centralizador de la imagen de $\phi$ .

Por ejemplo, consideremos un constituyente irreducible de una serie principal no ramificada de $SL_2(Q_p)$ cuya representación de Weil-Deligne $\phi$ envía (geométricamente, pero a quién le importa) a Frobenius a la clase de una matriz diagonal $diag(-1, 1)$ en $PGL_2(C)$ . Obsérvese que esta matriz está centralizada no sólo por matrices diagonales en $PGL_2(C)$ sino también por el elemento de Weyl (ya que trabajamos en $PGL_2(C)$ y no sólo $GL_2(C)$ ). El centralizador de la imagen de $\phi$ será el grupo $N_{\hat G}(\hat T)$ normalizando un toro maximal en $\hat G = PGL_2(C)$ Creo que Su grupo de componentes tiene orden $2$ . Dado que un grupo de orden $2$ tiene dos irreps, de hecho hay dos irreps de $SL_2(Q_p)$ con este parámetro de Langlands. Esto llena todo el paquete L -- los dos irreps ocurren como constituyentes en la misma serie principal en este caso.

Creo que el tratamiento más útil de los paquetes L para $SL_2$ puede encontrarse en el reciente artículo de Lansky y Raghuram, "Conductors and newforms for $SL(2)$ ", publicado en Pac. J. of Math, 2007. Es muy explícito y considera todos los casos a fondo, y de manera directamente relevante para las formas modulares. Allí puedes encontrar probadas las afirmaciones que mencionas sobre que los paquetes L no triviales están relacionados con los dos subgrupos compactos hiperespeciales -- también está relacionado con el hecho de que "genérico" tiene dos posibles significados para $SL_2$ y las representaciones pueden ser genéricas para una órbita de carácter y no para la otra.

Answer 5

Para profundizar en el comentario de Marty, la sencilla moraleja que se extrae tanto de la clasificación de Kazhdan-Lusztig de las representaciones dócilmente ramificadas como de la clasificación local real de Langlands es que se espera que los paquetes L estén dados por representaciones de grupos componentes de estabilizadores (centralizadores) de representaciones de Galois, como conjetura Vogan en general. En este caso no se necesitan gavillas perversas: estas representaciones son las mismas que los sistemas locales equivariantes en la variedad de representación apropiada. En el caso real, por ejemplo, la variedad de parámetros de Langlands se descompone en una colección discreta de órbitas, por lo que no vemos inmediatamente ningún papel para las trenzas perversas, y en cualquier caso, en lo que respecta a la clasificación de objetos simples (por lo tanto, representaciones irreducibles) no hay diferencia entre los sistemas locales en uniones disjuntas de estratos y las trenzas perversas en un espacio interesante hecho de estos estratos.

Donde las cosas se enriquecen geométricamente es cuando se intenta ir más allá de la clasificación de irreducibles -- en la historia real local de Langlands tenemos ese lujo ya que el primer paso ya está hecho. ¿Cómo se va más allá? Se pueden pedir fórmulas de caracteres, relacionar módulos estándar y simples, o más ambiciosamente intentar describir la categoría completa (derivada) de representaciones. Adams Barbasch Vogan introduce un interesante espacio con la misma estructura orbital que los parámetros reales de Langlands, pero con una geometría mucho más interesante. geometría, y describen el grupo K de representaciones en términos de láminas perversas equivariantes en esta variedad, encontrando un contexto geométrico adecuado para la dualidad de caracteres de Vogan.

De hecho, se puede ir mucho más allá. Soergel conjetura una clasificación local real de Langlands para toda la categoría derivada de representaciones (módulos de Harish-Chandra) de un grupo real, que eleva la imagen de Adams-Barbasch-Vogan sobre los grupos K. A grandes rasgos, se trata de una equivalencia derivada entre tramas perversas equivariantes en órbitas de grupos en variedades bandera para grupos duales de Langlands: un lado se identifica con las representaciones a través de Beilinson-Bernstein, el otro son los parámetros de ABV Langlands. Se puede especificar mucho más esta conjetura -- se supone que es equivariante para operadores entrelazados/ acciones de grupos trenzados en los dos lados, y tiene una interacción muy particular con las estructuras t (dualidad de Koszul).

(Me interesaría mucho saber hasta qué punto se pueden esperar análogos p-ádicos de cualquiera de estas versiones más refinadas de Langlands local --¡sí, lo sé, primero habría que demostrar las conjeturas originales! - pero aun así es interesante soñar).

Una característica interesante aquí es que ambos lados se parecen mucho (pero para grupos duales) es decir, una vez que interpretamos los paquetes L como sistemas locales, el lado Galois de la correspondencia empieza a parecerse mucho más al lado automórfico (donde estamos acostumbrados a que las representaciones se realicen en términos de objetos de tipo sistema local en espacios apropiados). En el entorno geométrico de Langlands (que se supone que no debemos mencionar en las respuestas), los dos lados parecen realmente simétricos, y ésta es la indicación más cercana que he visto en el entorno "original".