Aclaración sobre el límite de (x)sin(1/x)

Question

Conozco el límite de $\lim \limits_{x\to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$ y entiendo la prueba, pero estoy confundido en cuanto a por qué $\lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ no se aplica aquí. ¿Sólo es válido para ciertos valores de $x$ ?

Sé que estoy cometiendo un error en alguna parte pero no estoy seguro de dónde. He leído esta pregunta pero no pude encontrar lo que buscaba.

Edición: La razón por la que relacionaba los dos límites es porque parecen compartir un formato similar.

$$\lim \limits_{x\to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = \lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin(\frac{1}{x})}{(\frac{1}x)}$$

Entonces, si dejamos que $y=\frac{1}{x}$ obtenemos $\lim \limits_{y\to 0} \frac{\sin(y)}{y}$ salvo que cuando $x$ tiende a $0$ , $y$ tiende a $\infty$ . Esto me llevó a creer que la forma correcta de establecer esto sería $\lim \limits_{y\to \infty} \frac{\sin(y)}{y} = 0$ .

Mi error fue entender el paso de la sustitución. Desconocía que para que la sustitución sea válida ambas partes deben acercarse $0$ como $x$ se acerca a $0$ y si no es así, los límites deben ajustarse en consecuencia.

Answer 1

El primer límite corresponde a

$$\lim \limits_{x\to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \iff\lim \limits_{y\to \infty} \frac{\sin y}{y} = 0$$

que es completamente diferente del límite estándar

$$\lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$$

De hecho, como ha notado, al $y=\frac1{|x|}\to \infty$ y como $\forall \theta$ tenemos $|\sin \theta|\le 1$ por el teorema de squeeze

$$\left| \frac{\sin y}{y}\right|\le \left| \frac{1}{y}\right|=\frac1y \to 0$$

Answer 2

$ 0 \leq |x \sin (\frac 1 x)| \leq |x|$ para todos $x \neq 0$ . Por el Teorema de exprimir vemos que el límite es $0$ .

Esto no está relacionado con $\lim_{x \to 0} \frac {sin x} x$