Construcción de la proyección de un módulo proyectivo a partir de su base dual

Question

Dejemos que $M$ sea un módulo (de izquierda) sobre un álgebra no necesariamente conmutativa $A$ . Podemos decir que $M$ est proyectiva si, para algunos $n \in \mathbb{N}$ ,

i) existe una proyección $P$ (es decir $P \in M_n(A)$ y $P^2 = P$ ) tal que $$P(A^n) = M,$$

O DE FORMA EQUIVALENTE

ii) si tenemos un doble base , es decir, un conjunto $\{m_{i}\in M \mid i = 1, \dots,n\}$ y un conjunto $\{f_{i} \in \mathrm {Hom}(M,A)\mid i = 1, \dots,n\}$ tal que para cada $x \in M$ , $$x = \sum_{i = 1}^n f_{i}(x)m_{i}.$$

Lo que me gustaría saber es: Dada la base dual, ¿cómo se puede construir la proyección $P$ ?

Answer 1

Las definiciones dadas en la pregunta son para generado finitamente módulos proyectivos (aunque ambos pueden ser adaptados para proyectivos arbitrarios).

Dada la base dual, existen homomorfismos de módulo $f:M\to A^n$ dado por $$f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x)),$$ y $g:A^n\to M$ dado por $$g(a_1,\dots,a_n)=a_1m_1+\dots+a_nm_n.$$

La definición de una base dual da que $g\circ f=\text{id}_M$ Así que $f$ es un monomorfismo de división y $f\circ g:A^n\to A^n$ es un endomorfismo idempotente de $A^n$ con imagen isomorfa a $M$ .

Así que la proyección que quieres es simplemente $P=f\circ g$ o en otras palabras $$P(a_1,\dots,a_n)=(f_1(a_1m_1+\dots+a_nm_n),\dots,f_n(a_1m_1+\dots+a_nm_n)).$$