Límites de la ecuación del calor

Question

Estoy interesado en la siguiente ecuación de calor amortiguado en $\mathbf{R}$ , $u_t = u_{xx} - 1_{x \in [-1,1]} u$ con datos iniciales $u(0,x) = \delta(x-x_0)$ para algunos $x_0 \in \mathbf{R}$ .

En particular, estoy interesado en obtener límites no triviales sobre $u(t,0)$ . Por supuesto, el núcleo de calor da un límite trivial en $u(t,0)$ pero estoy luchando por obtener algo más fuerte.

¿Quizás la ecuación tiene una forma cerrada de solución de la que es fácil leer esa información?

Añadido más tarde: Por supuesto, se suponen condiciones de crecimiento adecuadas en el infinito para garantizar una solución única.

Corrección: La función indicadora es una función del $x$ sólo variable.

Answer 1

Supongamos que $1_{[-1,1]}$ es la función de identidad para $t$ pero aquí considero una función genérica $f(t)$ . Consideremos el problema de Dirichlet en un dominio acotado $D$

$$\Delta\phi_n+\lambda_n\phi_n=0 \qquad \phi=0\ on\ \partial D$$

Puedes escribir la solución exacta de tu ecuación como

$$u(t,x,y)=\sum_n a_n(t)\phi_n(x)\phi_n(y)$$

para que $u(0,x,y)=\delta(x-y)$ implica $a_n(0)=1$ . Por una sustitución directa se obtienen las ecuaciones a resolver

$$\dot a_n+\lambda_na_n(t)+f(t)a_n(t)=0$$

que admite la solución

$$a_n(t)=e^{-\lambda_n t-\int_0^t dt'f(t')}.$$

De este modo, podrás obtener un mejor límite en la solución.

Ahora, supongamos que $1_{[-1,1]}$ es la función de identidad para $x$ . El problema se reduce al de una ecuación de Schroedinger para una barrera de potencial rectangular. Busquemos las funciones propias del problema

$$\partial^2\phi_E(x)-1_{[-1,1]}\phi_E(x)=-E\phi_E(x)$$

En este caso esperamos un espectro continuo y obtendremos

$$\phi^L_E(x)=A_1e^{ik_0x}+A_2e^{-ik_0x}\qquad x<-1$$ $$\phi^C_E(x)=B_1e^{ik_1x}+B_2e^{-ik_1x}\qquad x\in [-1,1]$$ $$\phi^R_E(x)=C_1e^{ik_0x}+C_2e^{-ik_0x}\qquad x>1$$

ser $k_1=\sqrt{E-1}$ para $x\in [-1,1]$ y $k_0=\sqrt{E}$ de lo contrario. Y

$$u(t,x,x_0)=\int_C dEe^{-Et}\phi_E(x)\phi_E(x_0)$$

con un contorno bien elegido $C$ . Por favor, tenga en cuenta que también es $1_{[-1,1]}=\theta(x+1)-\theta(x-1)$ ser $\theta(x)$ la función de Heaviside.