Supongamos que $1_{[-1,1]}$ es la función de identidad para $t$ pero aquí considero una función genérica $f(t)$ . Consideremos el problema de Dirichlet en un dominio acotado $D$
$$\Delta\phi_n+\lambda_n\phi_n=0 \qquad \phi=0\ on\ \partial D$$
Puedes escribir la solución exacta de tu ecuación como
$$u(t,x,y)=\sum_n a_n(t)\phi_n(x)\phi_n(y)$$
para que $u(0,x,y)=\delta(x-y)$ implica $a_n(0)=1$ . Por una sustitución directa se obtienen las ecuaciones a resolver
$$\dot a_n+\lambda_na_n(t)+f(t)a_n(t)=0$$
que admite la solución
$$a_n(t)=e^{-\lambda_n t-\int_0^t dt'f(t')}.$$
De este modo, podrás obtener un mejor límite en la solución.
Ahora, supongamos que $1_{[-1,1]}$ es la función de identidad para $x$ . El problema se reduce al de una ecuación de Schroedinger para una barrera de potencial rectangular. Busquemos las funciones propias del problema
$$\partial^2\phi_E(x)-1_{[-1,1]}\phi_E(x)=-E\phi_E(x)$$
En este caso esperamos un espectro continuo y obtendremos
$$\phi^L_E(x)=A_1e^{ik_0x}+A_2e^{-ik_0x}\qquad x<-1$$ $$\phi^C_E(x)=B_1e^{ik_1x}+B_2e^{-ik_1x}\qquad x\in [-1,1]$$ $$\phi^R_E(x)=C_1e^{ik_0x}+C_2e^{-ik_0x}\qquad x>1$$
ser $k_1=\sqrt{E-1}$ para $x\in [-1,1]$ y $k_0=\sqrt{E}$ de lo contrario. Y
$$u(t,x,x_0)=\int_C dEe^{-Et}\phi_E(x)\phi_E(x_0)$$
con un contorno bien elegido $C$ . Por favor, tenga en cuenta que también es $1_{[-1,1]}=\theta(x+1)-\theta(x-1)$ ser $\theta(x)$ la función de Heaviside.
