Continuidad de las operaciones del espacio vectorial en un espacio normado

Question

Aquí está el problema 4 que sigue inmediatamente a la sección 2.3 del libro de Erwine Kryszeg, Análisis funcional introductorio con aplicaciones :

Demuestre que en un espacio normado $X$ la suma de vectores y la multiplicación escalar son operaciones continuas con respecto a la norma; es decir, los mapeos definidos por $(x,y) \mapsto x+y$ y $(\alpha,x) \mapsto \alpha x$ son continuos.

Ahora el mapa $(x,y) \mapsto x+y$ es un mapa de $X \times X$ a $X$ para que podamos considerar $X\times X$ bajo la norma definida como sigue: $$|| (x,y) ||_{X\times X} \colon= ||x||_X + ||y||_X$$ para todos $(x,y) \in X \times X$ . Con esta norma, podemos demostrar fácilmente que el mapa de adición de vectores es continuo.

Pero ¿qué pasa con la norma sobre $K \times X$ para la continuidad del mapa de multiplicación escalar? Aquí $K$ (o bien $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ) denota el campo de los escalares.

Answer 1

Puede utilizar la misma idea que funciona para $+$ : $$\|(\alpha,x)\|_{K\times X}=|\alpha|+\|x\|.$$ En cualquier caso, puede dotar $K\times X$ con la topología del producto y no se requiere una norma explícita.

EDITAR:

$$\eqalign{\|\alpha x - \alpha_0 x_0\|_X & = \|\alpha x - \alpha_0 x + \alpha_0 x - \alpha_0 x_0\|_X\cr &\le\|\alpha x - \alpha_0 x\|_X + \|\alpha_0 x - \alpha_0 x_0\|_X\cr & = |\alpha - \alpha_0|\cdot\|x\|_X + |\alpha_0|\cdot\|x-x_0\|_X\cr &\le(1+\|x_0\|_X)\cdot|\alpha - \alpha_0|+ |\alpha_0|\cdot\|x-x_0\|_X\cr &\le(1+\|x_0\|_X+|\alpha_o|)\|(\alpha-\alpha_0,x-x_0)\|_{K\times X}\cr & = (1+\|x_0\|_X+|\alpha_o|)\|(\alpha,x)-(\alpha_0,x_0)\|_{K\times X}.}$$ (Por qué $\|x\|_X\le 1+\|x_0\|_X$ ?)

Answer 2

Los campos $\mathbb R$ y $\mathbb C$ están dotados de una topología estándar (derivada de la métrica estándar y del valor absoluto estándar).

Answer 3

Hay muchas formas de norma de producto. Véase, por ejemplo, P153 de Folland "Real Analysis". En lugar de la forma aditiva de la norma del producto $\|(x,y)\|=\|x\|+\|y\|$ Aquí utilizo la forma máxima $\|(x,y)\|=\max(\|x\|,\|y\|)$ para demostrar la continuidad de la multiplicación de la escala $(\alpha,x)\mapsto \alpha x$ . Nótese que la forma máxima es equivalente a la forma aditiva, por lo que inducen la misma topología métrica. En concreto, $\|(\alpha,x)\|_{K\times X}=\max(|\alpha|,\|x\|)$ . A partir de la definición de la forma máxima de la norma del producto, es fácil ver $|\alpha|,\|x\|\le\max(|\alpha|,\|x\|)=\|(\alpha,x)\|_{K\times X}$ . Denotemos la métrica inducida en $K\times X$ como $d$ .

Ahora arreglar $\alpha_0$ y $x_0$ . Si $x_0=0$ , $(\alpha,x)\mapsto \alpha x$ es una función constante, que es trivialmente continua. En lo que sigue, suponemos que $x_0\ne0$ .

Dejemos que $$\begin{equation*} A=\begin{cases} \alpha_0+1 &\text{if $\alpha_0\ge0$,}\\ -(\alpha_0-1) &\text{otherwise.} \end{cases} \end{equation*}$$ Para cualquier $\epsilon>0$ , dejemos que $$\delta=\min(1,\frac{\epsilon}{2\|x_0\|},A,\frac{\epsilon}{2A}).$$ Entonces, mientras $d\bigl((\alpha,x),(\alpha_0,x_0)\bigr)<\delta$ tenemos $|\alpha x-\alpha_0x_0|<\epsilon$ estableciendo la continuidad de la multiplicación de la escala. Esto es porque, cuando es el caso, $$\eqalign{d\bigl((\alpha,x),(\alpha_0,x_0)\bigr) &=\|(\alpha,x)-(\alpha_0,x_0)\|_{K\times X}\cr &=\|(\alpha-\alpha_0,x-x_0)\|_{K\times X}\cr &=\max(|\alpha-\alpha_0|,\|x-x_0\|)\cr &<\delta,}$$ así que $|\alpha-\alpha_0|<1$ que obliga a $|\alpha|<A$ . Asimismo, tenemos $|\alpha-\alpha_0|<\frac{\epsilon}{2\|x_0\|}$ y $\|x-x_0\|<\frac{\epsilon}{2A}$ . Como resultado, $$\eqalign{\|\alpha x - \alpha_0 x_0\| & = \|\alpha x - \alpha x_0 + \alpha x_0 - \alpha_0 x_0\|\cr &\le\|\alpha x - \alpha x_0\| + \|\alpha x_0 - \alpha_0 x_0\|\cr & = |\alpha|\|x-x_0\| + |\alpha-\alpha_0|\|x_0\|\cr &<A\frac{\epsilon}{2A} + \frac{\epsilon}{2\|x_0\|}\|x_0\|\cr & = \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.}$$