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Una desigualdad diferencial con valores límite

Dejemos que $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ sea una función dos veces diferenciable en $(0,1)$ tal que $f(0)=f(1)=0$ y $f''+2f'+f \ge 0$

Entonces, ¿cuál de los siguientes valores no puede ser alcanzado por $f$ ?

$(a)\quad \pi$

$(b) \quad e$

$(c) \quad e^{\pi}$

$(d) \quad {\pi}^e$

Mi primer pensamiento fue tomar la igualdad con cero .

Entonces $f(x)=(a+bx)e^{-x}$ whefe $a,b$ son constantes arbitrarias

Con el valor límite , tenemos $a=0=b$ así que $f=0$ . Así que no hay conclusiones

Tomando de nuevo la ecuación diferencial

$f''+2f'+f=e^{\pi x}$

Tenemos la solución general como

$f(x)=(a+bx)e^{-x}+\frac{e^{\pi x } }{(\pi+1)^2}$

Con los valores límite

$a=-\frac 1{(\pi+1)^2}$ y $b=\frac{e^{\pi+1}}{(\pi+1)^2}+ \frac 1{(\pi+1)^2} $

Pero, ¿qué se puede concluir de todo esto?

Estoy totalmente confundido ya que soy nuevo en este tipo de problemas.

Por favor, ayúdenme a resolver esta cuestión. Gracias por su tiempo.

6voto

andy.holmes Puntos 518

Considere $g(x)=e^xf(x)$ . Entonces $g(0)=g(1)=0$ y $g''(x)=e^x(f''(x)+2f'(x)+f(x))\ge 0$ . Esto significa que $g$ es una función convexa. Ahora recordemos cómo una secante es relativa a una función convexa para concluir que $g(x)\le 0$ y por lo tanto también $f(x)\le 0$ para $x\in[0,1]$ .

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