Dejemos que $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ sea una función dos veces diferenciable en $(0,1)$ tal que $f(0)=f(1)=0$ y $f''+2f'+f \ge 0$
Entonces, ¿cuál de los siguientes valores no puede ser alcanzado por $f$ ?
$(a)\quad \pi$
$(b) \quad e$
$(c) \quad e^{\pi}$
$(d) \quad {\pi}^e$
Mi primer pensamiento fue tomar la igualdad con cero .
Entonces $f(x)=(a+bx)e^{-x}$ whefe $a,b$ son constantes arbitrarias
Con el valor límite , tenemos $a=0=b$ así que $f=0$ . Así que no hay conclusiones
Tomando de nuevo la ecuación diferencial
$f''+2f'+f=e^{\pi x}$
Tenemos la solución general como
$f(x)=(a+bx)e^{-x}+\frac{e^{\pi x } }{(\pi+1)^2}$
Con los valores límite
$a=-\frac 1{(\pi+1)^2}$ y $b=\frac{e^{\pi+1}}{(\pi+1)^2}+ \frac 1{(\pi+1)^2} $
Pero, ¿qué se puede concluir de todo esto?
Estoy totalmente confundido ya que soy nuevo en este tipo de problemas.
Por favor, ayúdenme a resolver esta cuestión. Gracias por su tiempo.