Rango de una matriz sobre extensión de campo.

Question

Dejemos que $A$ sea una matriz sobre un campo $\mathbb{F}$ y $\mathbb{K}$ sea una extensión de campo de $\mathbb{F}$ . Como sé que la característica y el polinomio mínimo de $A$ en $\mathbb{F}$ y $\mathbb{K}$ son iguales. ¿Ahora puedo decir que el rango de la matriz sobre ambos campos será el mismo? He probado con matrices particulares y obtuve el mismo rango. Por favor, sugiera. Gracias.

Answer 1

Supongamos que $A$ es un $n\times n$ -que representa un operador lineal, $F^n=\operatorname{Ker} f\oplus V$ donde la restricción de $A$ a $V$ es un isomorfismo hacia $\operatorname{Im}A$ . En $K$ , usted tiene $K^n=\operatorname{Ker}f\otimes_FK\oplus V\otimes_FK$ que muestra que el rango no cambia con el cambio de base.