Me gustaría ser mucho mejor en trig lo que soy. ¿Qué es el método mejor/más eficiente?
Gracias de antemano
Joe
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dan Walker
Puntos
3466
Me gustaría destacar cómo derivar identidades trigonométricas a partir de unos pocos. Aprender:
- cómo derivar las relaciones entre el directo de las funciones de la misma ángulo a partir de la definición de las funciones trigonométricas y la fórmula de Pitágoras;
- máximos, mínimos, ceros y periodo de cada función;
- si una función es par o impar;
- las funciones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º;
- las relaciones entre las funciones de simétrica, ángulos complementarios y suplementarios;
- las relaciones entre las funciones de los ángulos cuya diferencia es de 180º;
- las relaciones entre las funciones de los ángulos cuya suma es de 360º;
- las funciones trigonométricas inversas;
- la adición de fórmulas del pecado y de la cos;
- cómo derivar la resta fórmulas del pecado y de la cos;
- la forma de obtener la suma y la resta fórmulas de bronceado y la cuna;
- cómo derivar el doble y ángulo mitad fórmulas;
- cómo derivar la suma del producto de las fórmulas;
- cómo resolver algunas ecuaciones trigonométricas elementales;
- (triángulo) sin y cos leyes;
- La fórmula de la garza;
- derivados de directo y de funciones trigonométricas inversas.
Añadido. Ejemplos. De
$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \pecado \beta\etiqueta{A}$$
si establecemos $\alpha =\beta =a$, obtenemos
$$\sin 2a=2\sin a\cdot \cos a.\tag{1}$$
Y a partir de
$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta\sin \alpha \cdot \pecado \beta \etiqueta{B}$$
para $\alpha =\beta =a$, tenemos
$$\cos 2a=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a.\tag{2}$$
El uso de la identidad Pitagórica
$$\cos ^{2}a+\sin ^{2}a=1,\tag{C}$$
si $\cos a\neq 0$, luego $$\begin{eqnarray*} \sin 2a &=&2\sin a\cdot \cos a=2\dfrac{\sin a\cdot \cos a}{\cos ^{2}a+\sin ^{2}a} \\ &=&\dfrac{2\dfrac{\sin a\cdot \cos a}{\cos ^{2}a}}{\dfrac{\cos ^{2}a+\sin ^{2}a }{\cos ^{2}a}}=\dfrac{2\dfrac{\sin a}{\cos a}}{1+\dfrac{\sin ^{2}a}{\cos ^{2}a}} \\ &=&\dfrac{2\tan a}{1+\tan ^{2}a}. \end{eqnarray*}\etiqueta{3}$$
Del mismo modo $$\begin{eqnarray*} \cos 2a &=&\cos ^{2}a-\sin ^{2}a=\dfrac{\cos ^{2}a-\sin ^{2}a}{\cos ^{2}a+\sin ^{2}a} \\ &=&\dfrac{\dfrac{\cos ^{2}a-\sin ^{2}a}{\cos ^{2}a}}{\dfrac{\cos ^{2}a+\sin ^{2}a}{\cos ^{2}a}}=\dfrac{1-\dfrac{\sin ^{2}a}{\cos ^{2}a}}{1+\dfrac{\sin ^{2}a }{\cos ^{2}a}} \\ &=&\dfrac{1-\tan ^{2}a}{1+\tan ^{2}a}. \end{eqnarray*}\etiqueta{4}$$
Entonces
$$\tan 2a=\dfrac{\sen 2a}{\cos 2a}=\dfrac{\dfrac{2\bronceado a}{1+\bronceado ^{2}}} {\dfrac{ 1-\bronceado ^{2}} {1+\bronceado ^{2}}}=\dfrac{2\bronceado a}{1-\bronceado ^{2}}.\la etiqueta{5}$$
Añade 2. La ecuación lineal en $\sin x$ $\cos x$
$$ Un\sen x+B\cos x=C\etiqueta{6} $$ puede ser resuelto por un resolvent ecuación de segundo grado en $\tan \frac{x}{2}$, por escritura de las $\sin x$ e las $\cos x$ funciones en términos de $\tan \frac{x}{2 }$ (set $x=2a$ in $(3)$ and $(4)$):
$$ \sen x=\dfrac{2\tan \dfrac{x}{2}}{1+\bronceado ^{2}\dfrac{x}{2}},\etiqueta{7} $$
$$ \cos x=\dfrac{1-\bronceado ^{2}\dfrac{x}{2}}{1+\bronceado ^{2}\dfrac{x}{2}}.\la etiqueta{9} $$
La ecuación de $(6)$ es equivalente a $$\begin{eqnarray*} A\dfrac{2\tan \dfrac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{x}{2}}+B\frac{1-\tan ^{2}\dfrac{x}{ 2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{x}{2}} &=&C, \\ 2A\tan \dfrac{x}{2}+B-B\tan ^{2}\dfrac{x}{2} &=&C+C\tan ^{2}\dfrac{x}{2}, \\ \left( B+C\right) \tan ^{2}\dfrac{x}{2}-2A\tan \dfrac{x}{2}+C-B &=&0. \end{eqnarray*}\etiqueta{10}$$
Martin
Puntos
2000
El complejo de la función con valores de $h(\theta)=\cos(\theta)+i \sin (\theta)$ está determinada únicamente por las siguientes tres propiedades:
- $h$ es continua;
- $h(\theta+\phi)=h(\theta)h(\phi)$;
- $\lvert h(\theta)\rvert=1$, $h(2\pi)=1$.
Esto significa que cualquier otra propiedad de $\cos$$\sin$, incluyendo todas las fórmulas trigonométricas, pueden ser derivados de los de arriba.
Esas propiedades son especialmente fáciles de recordar si usted escribe $e^{i \theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ (esta gran idea se debe a Euler), y esta notación también proporciona un cómodo algebraico forma de derivar identidades trigonométricas.
Ejemplo. Queremos expandir $\cos^2(\theta)$. Escribir $\left( e^{i\theta}\right)^2= e^{i 2 \theta}$. El lado izquierdo es
$$(\cos \theta + i \sin \theta)(\cos \theta + i \sin \theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta+i(2\sin\theta \cos \theta),$$
mientras que el lado derecho es
$$\cos 2\theta + i \sin 2 \theta.$$
Igualando partes reales obtenemos
$$\cos^2\theta=\sin^2\theta+\cos 2\theta,$$
y desde $\lvert e^{i \theta}\rvert^2=1$$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$, llegamos a la conclusión de
$$\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2 \theta}{2}.$$
Michael Hardy
Puntos
128804
Algunas matrices de identidades trigonométricas tienen patrones rítmicos que pueden ayudarle a recordar: $$ \begin{align} \sin(x+y) & = \sin x\cos y + \cos x\sin y \\ \sin(x-y) & = \sin x\cos y - \cos x\sin y \\ \cos(x+y) & = \cos x\cos y - \sin x\sin y \\ \cos(x-y) & = \cos x\cos y + \sin x\sin y \end{align} $$
-
Pero usted no debe simplemente a aprender de estos cuatro identidades por SEPARADO. Si conoce la identidad de la primera, inmediatamente recibe la segunda de ella sabiendo que la función seno es impar y el coseno es par, y de la misma manera que usted consigue el cuarto de la tercera. Y usted puede conseguir el seno de las identidades de el coseno de identidades y viceversa, recordando que $\sin x = \cos(\pi/2 - x)$$\cos x = \sin(\pi/2-x)$. Si usted no sabe cómo hacer cosas como estas, te estás perdiendo algo que usted debe aprender.
Si usted sabe cómo encontrar a $\sin(x+y)$ como una función de los senos y cosenos de $x$$y$, que indica inmediatamente la del ángulo doble fórmula $\sin(2x)=2\sin x\cos x$, por lo que debe no sólo por SEPARADO memorizar. De nuevo, si usted no sabe que, luego de aprender. Lo mismo para el otro doble-ángulo de fórmulas.
Si usted sabe las cuatro identidades de arriba, que dice cómo demostrar que $$ \tan(x+y) = \frac{\tan x + \bronceado y}{1-\tan x\bronceado y} $$ por primera recordando que $\tan = \sin/\cos$ y, a continuación, dividir el numerador y el denominador, tanto por $\cos x\cos y$. Así que, de nuevo, no sólo por SEPARADO conocer la identidad de arriba; aprender cómo se desprende de los demás.
Y esto se aplica a las identidades trigonométricas en general.
Aprender a $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ surge del teorema de Pitágoras. Dibujar un triángulo cuya hipotenusa de longitud es $1$. A continuación, el lado opuesto es $\sin x$ y el lado adyacente es $\cos x$. Del mismo modo, si usted dibuja un triángulo cuyos adyacentes lado tiene una longitud de $1$, entonces el lado opuesto es $\tan x$ y la hipotenusa es $\sec x$, por lo que tenemos otra identidad Pitagórica: $1+\tan^2 x = \sec^2 x$.
Otra cosa útil si puede, es tutor de aquellos que son los primeros en el aprendizaje de los sujetos que no son tan experto como usted. Después de tomar una docena de-o-de modo tal que los estudiantes a través de todo el curso, usted encontrará algunas de las cosas mucho más firme en su lugar en su mente.
marty cohen
Puntos
33863
Y si usted está en el cálculo, utilice las fórmulas de la suma (o resta) para obtener los derivados del pecado, cos y tan. Ver qué hecho adicional es necesario para obtener los derivados.
Y si eres metafísico, reflexionar sobre por qué la fórmula de adición tan implica tan sólo, mientras que las fórmulas de adición para el pecado y lechuga romana implican pecado y lechuga romana.
