reduciendo el módulo de un carácter Dirichlet

Question

Dejemos que $\chi$ sea un carácter de Dirichlet módulo $N$ . Sea $M$ sea un divisor positivo de $N$ tal que $$\text{radical}(N)=\text{radical}(M).$$ Es $\chi$ sea un carácter módulo $M$ ?

Saludos cordiales.

Answer 1

La respuesta es "no". Considere el siguiente ejemplo. Existe un carácter Dirichlet módulo 4 definido por $$ \chi_4(n) = \begin{cases} 1 &\text{if $n = 1 \bmod 4$} \\ -1 & \text{if $n = -1 \bmod 4$}\\ 0 & \text{if $n$ is even}.\end{cases}$$ Entonces $\chi_4$ es un carácter de Dirichlet módulo $N = 4$ ; $M = 2$ es un divisor positivo de $N$ que tiene el mismo radical que $N$ Pero $\chi_4$ no es un carácter Dirichlet módulo 2 (ya que evidentemente $\chi_4(1) \ne \chi_4(3)$ ).