Análisis complejo - Serie de Laurent de $\frac{z}{z^2+1}$ en $|z-3|>2$

Question

Se supone que debo encontrar la serie Laurent para $\frac{z}{z^2+1}$ en $D$ : $|z-3|>2$

la naturaleza del dominio $D$ me dice que la parte analítica de la expansión de la serie de Laurent debe ser $0$

lo que significa que la serie que estoy buscando debería tener este aspecto :

$$\frac{a_{-1}}{z-3}+\frac{a_{-2}}{(z-3)^2}+\frac{a_{-3}}{(z-3)^3}\dots\dots$$

Intenté manipular la función para crear un $\frac{1}{1-\frac{2}{z-3}}$ plazo pero sigo fallando.

por favor, ayúdenme Gracias.

Answer 1

Dejemos que $f(z)=\frac{z}{z^2+1}$ . Hay singularidades de los polos de $f$ en $z=\pm i$ . Por lo tanto, si ampliamos $f$ en una serie Laurent alrededor de $z=3$ Esa serie sólo tendrá una parte principal para $|z-3|<\sqrt{10}$ y no tendrá ninguna parte principal para $|z-3|>\sqrt{10}$ .

Para $|z-3|>\sqrt{10}$ podemos escribir

$$\begin{align} \frac{z}{z^2+1}&=\frac{1/2}{z-i}+\frac{1/2}{z+i}\\\\ &=\frac{1/2}{(z-3)+3-i}+\frac{1/2}{(z-3)+3+i}\\\\ &=\frac{1}{2(z-3)}\left(\frac{1}{1+\frac{3-i}{z-3}}+\frac{1}{1+\frac{3+i}{z-3}}\right)\\\\ &=\frac{1}{2(z-3)}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\left(\frac{3-i}{z-3}\right)^n+\left(\frac{3+i}{z-3}\right)^n\right)\\\\ &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(10)^{n/2}\cos(n\arctan(1/3))(z-3)^{-(n+1)} \end{align}$$