matriz ortogonal de la $A\in M_3(\mathbb R)$ $\det (A)=1$. Demostrar que $(\mathrm{tr} A)^2- \mathrm{tr}(A^2) = 2 \mathrm{tr} (A)$

Question

matriz ortogonal de la $A\in M_3(\mathbb R)$ $\det (A)=1$.

Necesito demostrar que $(\mathrm{tr} A)^2-\mathrm{tr}(A^2) = 2 \mathrm{tr} (A)$; $\mathrm{tr}$ = rastro.

Sé que si es ortogonal a $A$ $A^tA=I$ y que $A$ es diagonalizable y similar a $D=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{pmatrix}$. We know as well that $\mathrm{tr} A = \mathrm {tr} D = \lambda_1+ \lambda_2+\lambda_3$ that $\mathrm{tr} A ^ 2 = \mathrm {tr} D ^ 2 = \lambda_1^2+ \lambda_2^2+\lambda_3^2$ y que $\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3=1$. No es suficiente para resolver la cuestión.

¿Lo que más deben conocer o utilizar para solucionarlo?

Gracias

Answer 1

Una rotación es diagonalisable sobre los números complejos, pero no sobre los reales. Sin embargo, siempre hay un base orthonormal del $\mathcal{B}$ y un verdadero número $\theta$, que $$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(A)=\left(\begin{array}{ccc} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0&0&1\end{array}\right)$ $ y usted tendrá $$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(A^2)=\left(\begin{array}{ccc} \cos(2\theta) & -\sin(2\theta) & 0 \\ \sin(2\theta) & \cos(2\theta) & 0 \\ 0&0&1\end{array}\right)$$ así $\mathrm{Tr}(A)=1+2\cos(\theta)$ y $\mathrm{Tr}(A^2)=1+2\cos(2\theta)$. El resto sigue de trigonometría.

Answer 2

En $\mathbb Z[X,X^{-1}]$ tenemos %#% $ de #% en otras palabras, la igualdad sostiene sobre cualquier anillo comutativo, para cualquier matriz similar a una matriz diagonal con las entradas diagonales $$(1+X+X^{-1})^2-(1+X^2+X^{-2})=2+2X+2X^{-1}.$, donde $1,a,a^{-1}$ es una unidad.

Answer 3

Un argumento tradicional

El % de matriz $A$es la matriz de una rotación por un ángulo $\theta$. Es un resultado estándar que el rastro de una rotación es $1+2\cos\theta$. El % de matriz $A^2$es una rotación a través de $2\theta$ sobre el mismo eje.

Por eso queremos mostrar que %#% $ #%

Con la manipulación un poco esto reduce al familiar $$(1+2\cos\theta)^2-(1+2\cos 2\theta)=2(1+2\cos\theta).$.

Answer 4

Sugerencia: $$\det(I-A)=\det(A^tA-A)=\det(A^t-I)\det(A)=\det(A-I)\cdot1=(-1)^3\det(I-A),$ $ % que $\det(I-A)=0$. IOW, uno de los valores propios es igual a $1$. ¿A ayuda?

Answer 5

$\begin{align*}\mathrm{Tr}(A)^2-\mathrm{Tr}(A^2)&= (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^2-(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2)\\&=2(\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1)\\&=2\lambda_1\lambda_2\lambda_3\left(\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_3}\right)\\&=2\det(A)\mathrm{Tr}(A^{-1})\\&=2\mathrm{Tr}(A). \end{align*} $

(Editar: en el último paso, utilizamos los hechos que $A^{-1}=A^T$ $A$ esté ortogonal y $\mathrm{Tr}(A^T)=\mathrm{Tr}(A)$ para cualquier matriz $A$.)