Si $\,\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\,$ existe para cada $x$ ¿Qué implica esto para $f$ ?

Question

Considere la función $$ f(x)=\left\{\begin{array}{rll} 1+x^2 & \text{if} & x \,\,\text{rational} \\ -x^2 & \text{if} & x \,\,\text{irrational}\end{array}\right. $$ Entonces, para $x=0$ el límite $\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)-f(-h)}{2h}$ existe, aunque $f$ en ninguna parte continua.

Consideremos ahora la función $$ f(x)=\left\{\begin{array}{rll} 1 & \text{if} & x=0 \\ 0 & \text{if} & x\ne 0\end{array}\right. $$ Entonces el límite $\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ existe, para cada $x$ aunque $f$ no es continua en $x=0$ . Este ejemplo se puede generalizar, y obtener un $f$ que es discontinua en un número contable de puntos (por ejemplo, todos los racionales), mientras que la diferencia central converge.

Supongamos ahora que el límite $\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ existe para cada $x$ es un intervalo abierto. ¿Implica esto que $f$ no es diferenciable a lo sumo en un número contable de puntos?

Answer 1

Dejemos que $$g(x,h) = \dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\quad g_0(h) = g(x_0,h).$$ Es fácil ver que $$g_0(h)=0\ \text{if}\ x_0 = 0,$$ como para cualquier otro racional $x_0.$

Así que la función $g_0(h)=0$ es diferenciable en el primer caso, dentro de $g'_0 = 0.$

En el segundo caso, existe una discontinuidad removible de la derivada en el punto $x=0$ .

En el tercer caso, puede existir la cantidad arbitraria (contable) de las discontinuidades removibles o los huecos de la derivada.