Para las sumas de Riemann que implican raíces cuadradas, por qué dejamos que $c_{i} = \frac{i^{2}}{ n^{2}}$ ?

Question

Mi libro de Cálculo nos pide que evaluemos el límite:

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(c_{i}) \Delta x_{i} $$

de f(x) = $\sqrt{x}$ dentro de [0,3]

¿Por qué el punto final derecho se da como $3\frac{i^2}{n^2}$ ?

De la misma manera, $c_{i}$ se convierte en $\frac{i^3}{n^3}$ para $\sqrt[3]{x}$ dentro de [0,1].

Me disculpo si mi LaTeX es malo, mi primer intento.

No lo explica muy bien en el libro.

Gracias.

Answer 1

Si se divide el intervalo $[0,3]$ en una partición en la que el iésimo intervalo es $$\left[3{i^2\over n^2},3{(i+1)^2\over n^2}\right]$$ entonces la longitud de ese intervalo es $$3\frac{2i+1}{n^2}$$ Así que la suma se convierte en $$\sum{3\frac{2i+1}{n^2}\sqrt{3}\frac{i+1}{n}}=3\sqrt{3}{1\over n^3}\left(2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+3\frac{n(n+1)}{2}+n\right)=3\sqrt{3}{2\over 3}=2\sqrt{3}$$ en el límite. La razón de la extraña partición es para que al tomar la raíz cuadrada no se pongan raíces cuadradas en la propia suma, lo que complicaría mucho las cosas.