Demuestre el siguiente resultado: $$\sum_{m=1}^{99}{\frac{\sin{\left(\frac{17 m \pi}{100}\right)} \sin{\left(\frac{39 m \pi}{100}\right)}}{1+\cos{\left( \frac{m\pi}{100} \right) }}}=1037$$
El origen de este problema es desconocido para mí.
Respuesta
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No es tan tedioso si se ve algebraicamente. Sea $\Omega_n=\{\omega : \omega^n=1,\omega\neq 1\}$ y $$S(n,m,k)=\sum_{\omega\in\Omega_n}\omega^{-k}(1-\omega)^{-m}$$ (el " $\color{red}{-}k$ "para mayor comodidad); entonces la suma dada es igual a $$\frac{1}{4}\big(f(55)+f(-57)-f(21)-f(-23)\big),\qquad f(k)=S(200,2,k).$$ Desde $S(n,m,k)-S(n,m,k-1)=S(n,m-1,k)$ tenemos $$S(n,m,k)=S(n,m,0)+\sum_{d=1}^{k}S(n,m-1,d),\qquad k\geqslant 0,$$ y $S(n,m,0)$ puede obtenerse a partir de $$\sum_{k=0}^{n-1}S(n,m,k)\left[=\sum_{k=1}^{n}S(n,m,k)=S(n,m+1,n)-S(n,m+1,0)\right]=0.$$ De esta manera encontramos, para $0\leqslant k<n$ , \begin{align}S(n,0,k)&=n\delta_{0,k}-1=\begin{cases}n-1,&k=0\\\hfill-1,&k\neq 0\end{cases},\\S(n,1,k)&=-k+\frac{n-1}{2},\\S(n,2,k)&=-\frac{k(k+1)}{2}+\frac{n-1}{2}k-\frac{(n-1)(n-5)}{12},\end{align} que es suficiente.
