Esta es una pregunta sobre el ejercicio 2.1.iii del libro de Emily Riehl Categorías en contexto. La declaración es la siguiente.
Supongamos que $F\colon C \to \mathrm{Set}$ equivale a $G\colon D \to \mathrm{Set}$ en el sentido de que existe una equivalencia de categorías $H\colon C \to D$ para que $GH$ y $F$ son naturalmente isomorfas.
- Si $G$ es representable, entonces es $F$ ¿Representable?
- Si $F$ es representable, entonces es $G$ ¿Representable?
Recordemos que $G\colon D \to \mathrm{Set}$ es representable si hay un objeto $d$ en $D$ y un isomorfismo natural $G \cong D(d,-)$ . Tenga en cuenta que para que la pregunta tenga sentido, $G$ medios representables $D$ y por lo tanto $C$ debe ser localmente pequeño.
Creo que tengo un argumento que hace que la respuesta a ambas partes sea "sí", pero me vendría bien que me aseguraran que no estoy jugando demasiado rápido. ¿Comprobar mi trabajo?
Supongamos que $G$ está representado por $D(d,-)$ . La suposición de que $H\colon C \to D$ define una equivalencia de categorías significa que existe $K\colon D \to C$ que atestigua esta equivalencia.
Reclamación: $F$ está representado por $C(Kd,-)$ . Desde $KH$ es naturalmente isomorfo al functor de identidad $C \to C$ , "batiendo" con $C(Kd,-)$ $C(Kd,-)$ produce un isomorfismo natural $C(Kd,-)\cong C(Kd,KH-)$ . Las equivalencias de las categorías son completas y fieles, por lo que la función que envía la flecha $Kf\colon Kd\to KHx$ a $f\colon d \to Hx$ es un isomorfismo natural $C(Kd,KH-)\cong D(d,H-)$ . (Esta es la parte que me pone nervioso). Por supuesto, esta última es naturalmente isomorfa a $GH$ que es naturalmente isomorfo a $F$ .
