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Espacio de fase de un sistema dinámico discreto

Supongamos un sistema dinámico de una variable $x$ con pasos de tiempo discretos. He visto en algunos artículos un tipo de gráfico en el que $x(n+1)$ se representa en función de $x(n)$ . Mis preguntas son : 1/ ¿Se puede considerar esto como el retrato de fase del sistema? 2/ ¿Tiene este método un nombre específico? 3/ ¿Existen estudios sobre la topología de este espacio?

Gracias por su ayuda.

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heathrow Puntos 25

La dinámica del espacio de fase del sistema dinámico discreto es justo lo que describes: x(n+1) en función de x(n). El espacio de fase en sí es el rango de valores de la x(n), sea cual sea el espacio en el que vivan, mientras que la dinámica es la función que especifica la evolución en un paso en el tiempo.

La conexión con el espacio de fases mecánico se realiza mediante una sección de Poincare. La sección de Poincare describe un sistema dinámico continuo mediante sus intersecciones con una superficie dada en el espacio de fases completo. Para un movimiento 1d, se puede considerar la semirrecta x=0,p>0, o en coordenadas canónicas de ángulo de acción $\theta$ fijo, J arbitrario. Cuando se tiene un movimiento integrable separable, se toma cualquiera de los $\theta$ variables y definir una superficie poniéndola a cero. Entonces el movimiento intersectará esta superficie una vez cada periodo.

En el espacio de fase mecánico, el volumen del espacio de fase se conserva, pero esto no es así para los mapas. La condición de intersección transversal significa que el mapa de la superficie de Poincare a sí misma puede obtener Las propiedades topológicas de los mapas sobre

Propiedades topológicas

Las propiedades de los mapas sobre los espacios son tan complicadas como se quiera. La cuestión es entonces qué propiedades topológicas te interesan.

El teorema topológico más sencillo sobre los mapas es el teorema del punto fijo de Brouwer, que se puede replantear como sigue:

  • Une los puntos x y f(x) mediante un camino. Si se dibuja una esfera contraíble, y se encuentra que al rodear el límite, este mapa x-f(x) tiene un enrollamiento no nulo, entonces hay un punto fijo dentro de esta esfera.

El enrollamiento de una esfera alrededor de otra esfera es el índice del mapa, es decir, cuántas veces la esfera cubre a la otra esfera en el mapa. El teorema de Brouwer es clásico.

Otro teorema clásico de este tipo es el teorema de Sharkovskii:

  • Existe un orden lineal sobre los periodos de los ciclos periódicos en los mapas 1d, tal que cada órbita periódica de longitud l implica que existe una órbita periódica de longitud l' siempre que l' sea mayor que l.

Otros resultados vienen dados por la dinámica simbólica, la posición de grano grueso en función del tiempo. La noción de entropía de un sistema dinámico está relacionada con esto. Estos resultados no son realmente de carácter topológico, pero son generales, y dan una visión cualitativa, por lo que son similares.

Aquí se pueden encontrar muchos más resultados, http://elib.tu-darmstadt.de/tocs/35981431.pdf

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Sam Saffron Puntos 1304

Sí, dada una dinámica discreta q(t-1), q(t), q(t+1) ..., se puede ver al gráfico de Poincare q(t+1) vs q(t) como una representación de la dinámica del espacio de fase del sistema. Sin embargo, considerando la variable q como la coordenada generalizada del sistema discreto, nos acercaríamos más a una descripción del espacio de fase si definiéramos el momento generalizado p(t) := q(t) - q(t-1), y trazáramos los "momentos" p(t) frente a las "posiciones" q(t).

Un ejemplo sería la dinámica reversible basada en q(t+1) - 3 q(t) + q(t-1) = 0. Utilizando los momentos definidos anteriormente, esta dinámica puede reescribirse en forma de espacio de fase:

q(t+1) = 2 q(t) + p(t)
p(t+1) = q(t) + p(t)

en el que reconocemos el mapa del gato de Arnold. Se trata de un mapa que preserva el área con propiedades caóticas.

Normalmente los mapas de este tipo se estudian aplicando condiciones de contorno periódicas. en ese caso el espacio de fase tiene la topología de un toroide. Pero no hay que asignar ningún significado específico a esa elección (conveniente). No sé qué más decir sobre la topología del espacio de fase de los sistemas dinámicos discretos. En principio, se puede definir como se quiera.

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